№0. Понятие бао, уао, их свойства. Частичное бао и уао

В школе мы умели складывать любые два числа из мн-ва (N₀=1,2,3…), рез-т получался единст-м и снова принадлежал этому же мн-ву N₀.

На геометрии мы умели складывать любые два вектора, рез-т был единственный и был снова вектором.

Опр. Если на мн-ве M (Menge) задано правило, по которому любым двум эл-м a, b ϵ(из) М (м/б a=b) ставится соответствие единств эл-т a*b з этого же мн-ва, то говорят, что на М задана бинарная алгебраическая операция *. Примеры БАО:

1⁰ слож (умнож) на числовом мн-ве N (N₀, Z = {…, -1, 0, 1, …}, Qquota, R)

2⁰ сложение (вычитание) векторов

3⁰ М – мн-во всех точек плоскости.

Будем считать, что любым двум точкам a, b ϵ М сопоставляется середина a*b отрезка ab.

4⁰ кон, диз, пересеч, объед

Опр. Если в предыдущем опред-нии вместо двух эл-в брать один эл-т, то говорят, что на М задана унарная алгебраическая операция. Пример УАО:

1⁰ нахождение противополож-го числа (-a) на мн-ве M = {0, 1, -1}, на Z, Q, R)

2⁰ нахождение обратного числа (a^-2), Q₊ (положит. рац.), R₊

3⁰ дополнение, отриц высказыв

Если в предыдущих определениях все по-старому, но иногда рез-т a*b (^*a) не сущ-т, то принято говорить о частичных БАО и УАО.

1⁰ вычитание на N (N₀, Z без нуля, R₊) – это частичная БАО. 5-6=?

2⁰ нахождение обратн числа a^-1 на N (N₀, Q, R) – частичная УАО. 8^-1=?, 1^-1=?

3⁰

Свойства БАО. БАО могут обладать след. св-вами:

1) коммутативность (премест.) Всегда a*b=b*a

2) ассоциативностью (сочет.) Всегда (a*b)*c=a*(b*c) скобки можно перемещ

3) Идемпотентность (тот же, та же) Всегда a*a=a

4) наличие нейтрального эл-та ℮ Всегда a*℮=℮*a=a Если же всегда a*℮=a, то ℮ наз-ся правым нейтральным эл-м. Аналогично опрел-ся левый нейтр. эл-т.

5) наличие поглощающего эл-та (правый-левый) Всегда a*m=m*a=m

6) дистрибутивность (распред-ть) одной БАО * относительно др. □.

Всегда (a□b)*c = (a*c) □ (b*c) Это правая дистриб-ть * относ-но □.

Левая выглядит так: всегда a*(b□c) = (a*b) □ (a*c)

Если есть коммутативность *ки, то говорят просто о дистрибутивности.

Примеры:

1⁰ умножение относ-но сложения на N₀

2⁰ деление право-дистрибутивно относ-но сложения на R₊.

Здесь всегда a+b:c = (a:c)+(b:c)

3⁰

Свойства УАО: 1⁰ инволютивность Всегда ^*a^*=a. Здесь ^*a^*=(a^*)^*

Мы знаем, что -(-a)=a. Поэтому нахождение противоположного числа – инволютивная УАО.

№1. Понятие высказывания. Простые и составные выск. Таблица истинности и их применения. Равные выск. Тавтологии.

Повест. предлож, о котором в опред-м контексте и при опред. условиях можно говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием.

Высказыв. бывают простые и составные. Простые- это такие, котор. не состоят из других высказыв. Составные - можно разбить на другие составляющие высказыв., при чем эти составляющие высказыв. могут быть соединены логическими союзами «и, или, либо, хотя бы одно из, если то»

Например: «Данная фигура-прямоугольник» - простое, а «если а ϵ М , то а ϵ М» (а не принадлежит не М) - составное.

Два высказ назыв-ся равными, если у них одинаков таблицы истинности. Видим, что

AVA=A (3⁰ для V) A^A=A (3⁰ для ^)

AVл=A (л – нейтральный эл-т V, 4⁰) A^и=A (и – нейтральный эл-т ^, 4⁰)

AVи=A (5⁰ для V, и – поглощ. эл-т) A^л=A (5⁰ для ^, л – поглощ. эл-т)

Тавтология - высказыв., которое всегда явл. истинным.

Примерами тавтологий будут AVи, не A^л, AVĀ, A=>A,

AV(B=>B) = AVи (поглощ эл-т,^5⁰)= и

Импликацией (БАО) выск-ний А и В наз-ся выск А=>В(если А, то В) с таблицей истинности:

А	В	А=>B
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Теорема о св-вах импликации: Всегда:

1⁰.А=>B= неАvB 2⁰.A=>B=неВ=>неА 3⁰.В=>A=не А=>неВ (следует из 2⁰)

Импликация некоммутативна, т.к. не всегда A=>B=B=>A(при А=и, В=л, л.ч.=л, п.ч.=и); неассоциативна,т.к. не всегда (A=>B)=>C=A=>(B=>C): (при А=л, В=л, С=л – л.ч.=л, п.ч.=и); неидемпотентна, т.к. мы знаем, что такое тавтология (Exx: A=>A; Av(B=>B))

A v неA=и – закон исключенного тертьего; третьего не дано

A ^ неA=л – закон противоречия

Док-во: 1⁰.Докажем по таблице истинности:

А	В	А=>B	Не А	НеАvB
и	и	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и