Мат. анализ 01-05-Натуральные и целые числа

1.5. Натуральные и целые числа

Обычно натуральные и целые числа изучаются в отдельных курсах, связанных с арифметикой. См., например, [Нечаев]. В данном разделе мы рассмотрим множество натуральных чисел в контексте аксиоматики и свойств действительных чисел.

Изначально в имеется всего два выделенных числа – это нуль (0) и единица (1). Далее положим

Другими словами, натуральные числа содержат единицу и все, что из нее получается путем сложения, и ничего больше. Соответственно,

0 {0}, {0} ( ).

Такое определение понятно на интуитивном уровне, но нам потребуется еще «работающее» определение, на основе которого можно будет доказывать свойства натуральных чисел. Для этого предварительно введем понятие индуктивного множества.

Определение. Подмножество X называется индуктивным множеством, если оно удовлетворяет условиям:

(N1) 1 X,

множеств, значит, он принадлежит каждому из них. Но тогда по свойству (N2)

2

Пример 1.5.1. «Школьное» определение натуральной степени числа выглядит следующим образом:

Индуктивное определение степени задается следующим образом:

def

1) a1 a,

def

2) an 1 ana, n 0,1,2,...

а если по определению положить

def

0) a0 1,

то пункт 1) выводится из пунктов 0) из 2), т.к. a1 a0 1 a0a 1a a .

В более общем случае можно определить произведение n сомножителей

n

ak a1 ... an,

k 1

(читается «произведение a k -тых по k от единицы до n »), или индуктивно

0def

–ak 1, (пустое произведение по определению равно 1)

k 1

Важный частный случай этого имеет вид

3

Второе направление использования индуктивности натуральных чисел заключается в так называемом методе доказательства по индукции (метод математической индукции). Он основан на следующей теореме.

В качестве иллюстрации метода математической индукции докажем важное неравенство.

Теорема 1.5.3. (неравенство Бернулли) Пусть 1. Тогда для любого натурального n выполняется неравенство

и очевидно выполняется.

2) Шаг индукции. Пусть неравенство (1) верно для какого-либо n 1, тогда с учетом 1 его можно умножить на (1 ) 0, что дает

(1 )n 1 (1 n)(1 ) 1 (n 1) n 2.

Поскольку n 2 0, отсюда получаем неравенство

(1 )n 1 1 (n 1) ,

которое имеет вид (1) для n 1. Это доказывает шаг индукции и теорему.

Отметим одну особенность доказательства по индукции. Этот метод позволяет проверять истинность данного утверждения P(n), но не помогает находить такие утверждения. Поиск – это творческий процесс.

Перечислим основные арифметические свойства множеств , 0, .

Теорема 1.5.4.

1), 0, замкнуты относительно сложения.

2)замкнуто относительно вычитания, а , 0 – не замкнуты, точнее

m,n (n m m n), m,n 0 (n m 0 m n). 3) , 0, замкнуты относительно умножения.

4 4) , 0, не замкнуты относительно деления. Это порождает богатую тео-

рию делимости, которую в рамках курса математического анализа не изучают. 5) , 0 имеют минимальный элемент 1 (соотв. 0), а не имеет.

6), 0, не имеют максимального элемента.

7)m,n (n m n 1 m n). То есть, между n и n 1 никаких других целых чисел нет.

Доказательство не водит в курс математического анализа и может быть предоставлено для самостоятельного изучения.

А вот свойства натуральных и целых чисел относительно действительных чисел приведем с доказательствами.

Теорема 1.5.5.

1), 0, не ограничены сверху в .

2)не ограничено снизу в .

3)Любое непустое ограниченное сверху подмножество , 0, имеет мак-

симальный элемент.

4) Любое непустое ограниченное снизу подмножество , 0, имеет минимальный элемент (отметим, что ограниченность снизу для , 0 очевидна).

5)x !n (x 1 n x).

6)x !n (n x n 1).

Доказательство. 1) Отметим, что отсутствие максимального элемента еще не доказывает неограниченности в . Т.к. 0 , то достаточно доказать неограниченность сверху . Доказательство будет от противного.

m (m a 1). Но тогда будет m 1 , m 1 a , что невозможно. Это и доказывает от противного п. 1).

2)Если допустить, что ограничено снизу, то и множество ограничено снизу, т.е. c (c ). Но тогда c, что противоречит п. 1).

3)Пусть X , X – множество, ограниченное сверху каким-либо

быть только при m n . Это показывает, что такое число единственно.

6) – это просто переформулировка для дальнейшего удобства пункта 5), т.к. условие x 1 n равносильно условию x n 1.

Рис. 1.5.1. Расположение целых чисел на числовой оси.

aqn a(1 )n a(1 n ).

Поскольку справа стоит неограниченно возрастающая арифметическая прогрессия, то и бóльшая геометрическая прогрессия неограниченно возрастает. Следствие 1.5.8. Любая убывающая положительная геометрическая про-

грессия сколь угодно близка к нулю, или, в формальных обозначениях:

inf{aqn : n } 0,

a 0 q (0,1) 0 n : aqn .