Замечания к параграфам шш и стрелка Пирса:

Эти операции обладают одним необычным св-ом: ч/з каждую из них в отдельности можно выделить 15 логических операций. Покажем это на примере ШШ: из 3⁰ следует, что: не А=A|A; из 0⁰ A|B=неA^B следует, что A^B=не A|B=(A|B)|(A|B). Видим диз-цию: AvB=A^B=(A|B)|(A|B)=((A|B)|(A|B))|((A|B)|(A|B)) * =, а отрицание мы умеем выражать через ШШ.

(На полях: отрицание ля-ля=ля-ля|ля-ля; НеА=A|A)

№3. Тождественные преобразования в алгебре высказываний

В алгебре высказываний можно проводить тождественные преобразования, заменяя одни высказывания равносильными им другими высказываниями.

Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Например: (AvB)^C=(A^C)v(B^C),

(A^B)vC=(AvC)^(BvC)

Используя эти свойства, можно проводить тождественные преобразования, упрощения формул алгебры высказываний.

Например, сложная формула может быть преобразована в более простую.

(AvB)^(неB=>неA) = (AvB)^(A=>B) = (AvB)^( ĀvB) = (AvĀ)^B=л^B

*

№4 Виды теорем и связь между ними

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.

Любая теорема устроена, как некоторая импликация, тогда в силу св-ва 20 любая теорема равносильна обратной противоположной (или противоположной обратной), а в силу св-ва 30, обратная теорема равносильна противоположной теореме. Поэтому, из четырех теорем достаточно док-ть две (не любые).

Известно, что имея некоторую (прямую) теорему ( P => G ), можно образовать новые теоремы, и не одну: G => P - обратная; P => G - противополож; G => P - обратн противоположной или противоп-обратная *

_ _

а) (P =>G) и (G => P) - одновременно истинны или ложны;

_ _

б) (G =>P) и (P => G) - одновременно истинны или ложны.

Например:

Прямая: Если число оканчивается на 0, то оно делится на 5.

Противоположная: Если число не оканчивается на 0, то оно не делится на 5.

Обратная: если число делится на 5, то оно оканчивается на 0.

Обратная противоположной: если число не делится на 5, то оно не оканчивается на 0.

№5 Логические задачи и логические парадоксы (антиномии)

Трое друзей нашли старинный сосуд. Первый предположил, что то греч. сосуд Vв., второй, что это финикийский сосуд IIIв., а третий, что это не греческий сосуд IVв. Каждый из них оказался прав только на половину.

Решение:

Вводим обозначения:

G: сосуд греч.

F: сосуд финик.

A: Vв., B: IIIв., C: IVв.

По условию каждый из них окзазался прав лишь на половину. Поэтому

GvA = и = FvB = неG v C,

G^A = л = F^B = неG ^ C

Осталось решить систему. Это м/сделать перебором по странам.

1) пусть G=и, тогда F=л. Подставим эти значения в 6 уравнений системы.

иvА=и=лVB=лVC,

и^А=л=л^B=л^C

Ищем значения A, B, C из этой системы.

A=л, B=и,

C=и – такого не м/б

Если же G=л, то F=и

лvА=и=иVB=иVC,

л^А=л=и^B=и^C

A=и, B=л, C=л

Ответ: сосуд финикийский Vв.