Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TERECSHENKO.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

611.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

		z0 G / G
		ρ
		Gρ
		Рис. 3.3.
Замечание.	Из	теоремы Коши следует, что	в	односвязной области интеграл
z
F(z) = ò f (η)dη ,	где	f(z) аналитическая в области	G	является аналитической в G и
z0

F(z) = f (z) . Функция, производная которой равна заданной функции f (z), называется пер-

вообразной этой функции, следовательно F(z) одна из первообразных функций f (z). С по- мощью первообразной можно вычислить интегралы. Справедлива формула Ньютона -

Лейбница

ò f (η)dη=F (η) z1 = F(z1) - F(z0 ) .

3.4.Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция f(z) аналитическая в n-связной области G и непрерывна в G ,

тогда справедлива формула Коши

f (z) =

!ò

f (η)dη

(3.6)

2πi

η - z

где Г граница области G, проходимая так, что область G остается все время слева.

Доказательство. Подинтегральная функция

f (η)

является аналитической во всех

η - z

точках области G относительно переменной η,

кроме случая, когда η = z . Построим круг

f (n)

радиуса r с центром в точке z. В области

G = G - Kr (Kr = {z | z - z |< r}) функция

явля-

η - z

ется аналитической, по теореме Коши

!ò

f (η)dη

!ò

f (η)dη

= 0 ,

(3.7)

η - z

γr−

окружность γr− проходится по часовой стрелке. Из (3.2) следует, что

!ò

f (η)dη

!ò

f (η)dη

= 0 ,

(3.8)

η - z

γr+

На окружности γr , η - z = reiϕ , поэтому имеет место равенство

!ò

f (z)dη

f (x)

!ò

dη

f (x)

× 2πi = f (z) ,

(3.9)

2πi

η - z

2πi

η - z

2πi

γr

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Учитывая формулы (3.8), (3.9) получим

1	× !ò	f (η)dη	- f (z) =	1	× !ò	f (η) - f (z)	dη ,	(3.10)
2πi	× !ò	η - z	- f (z) =	2πi	× !ò	η - z	dη ,	(3.10)
	γr				γr

Оценим интеграл, стоящий в правой части равенства (3.10):

	1	×	!ò	f (η)dη	dη	£	1	max \| f (η) - f (z) \| ×	2π	= max \| f (η) - f (z) \| .
	2πi	×			dη	£	2π	max \| f (η) - f (z) \| ×	r	= max \| f (η) - f (z) \| .
	2πi			η - z			2π	γz	r	γr
			Г
Так как функция			f(z) непрерывна на γr , то						ε > 0 ,		найдется такое δ(ε) , что
max \| f (η) - f (z) \|< ε , для всех \| η − z \|< δ(ε) . Выбрав 0 < r < δ(ε)											получим, что
γr

max | f (η) - f (z) |< ε ,

γr

т.е.

lim	1	!ò	f (η) - f (z)	dη = 0 .

r→0	2πi		η - z
		γr

С другой стороны, как видно из левой части равенства (3.10) интеграл

!ò	f (η) - f (z)	dη не

	η - z
γr

зависит от r. Переходя к пределу в равенстве (3.10) при r → 0 , получим интегральную формулу Коши:

f (z) =	1	× !ò	f (η)dη	.
	2πi		η - z
		Г

Если Г – окружность с центром в точке z, | η − z |= R , то по формуле Коши получим:

	1		f (η)dη		1	2π	f (z + Reiϕ )		×i Reiϕ =
f (z) =		!ò		=		ò
	2πi		η - z		2πi		Re	iϕ
		Г				0

2π

=1 ò f (z + Reiϕ )dj. 2π 0

Учитывая, что dj = dsR , получим

f (z) = 1 !ò f (η) × ds , ηΓ .

2πR Г

(3.11)

(3.12)

Формула (3.12) выражает теорему о среднем для аналитических функций:

Теорема. Если f(z) непрерывна в замкнутом круге и аналитическая внутри этого кру- га, то ее значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружно- сти.

Интегральная формула Коши позволяет вычислять контурные интегралы. Рассмотрим не- которые примеры.

Пример. Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интеграл

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

	!ò	ez2
			dz ,
		z2 - 6z	dz ,
если	Г
если
1) Г :\| z − 2 \|=1;	2) Г :\| z − 2 \|= 3, 3) Г :\| z − 2 \|= 5 .
Решение: 1) В замкнутой области,		ограниченной окружностью				\| z − 2 \|=1, подинте-
гральная функция аналитическая, поэтому в силу теоремы Коши				!ò	ez2 dz			= 0 .
гральная функция аналитическая, поэтому в силу теоремы Коши				!ò	z	2	- 6z	= 0 .
				\|z−2\|=1	z		- 6z
				\|z−2\|=1

2) Внутри области, ограниченной окружностью | z − 2 |= 3 , находится одна точка z=0, в которой знаменатель обращается в нуль. Перепишем интеграл в виде:

ez2 dz

ez2

!ò

= !ò

z - 6

dz .

- 6z

|z−2|=3

Функция f (z) =

ez2

является аналитической в данной области. Применяя интегральную

z - 6

формулу Коши при z = 0, получим

!ò

πi

= 2πi ×

= 2πi ×ç

= -

- 6z

ç z - 6

|z−2|=3

øz=0

3) В области, ограниченной окружностью | z − 2 |= 5 , имеем две точки z=0, z=6, в кото-

рых знаменатель подинтегральной функции обращается в нуль. Непосредственно форму- лу Коши применять нельзя.

Существует несколько способов вычисления интеграла в этом случае.

1) Построим окружности γ1 и γ2 с центрами в точках z=0, z=6 достаточно малых ра- диусов таких, чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге | z − 2 |≤ 5 .

В полученной многосвязной области подинтегральная функция аналитична, поэтому на основании теоремы Коши для многосвязной области получим:

!ò

ez2 dz

= !ò

ez2 dz

+!ò

ez2 dz

- 6z

|z−2|=5

γ1

γ2

К каждому интегралу в правой части можно применить интегральную формулу Коши. В

результате получим

!ò

-1

πi .

= 2πi

+ 2πi

- 6z

|z−2|=5

è z

- 6

øz=0

øz=6

2) Разложим дробь

на сумму простейших дробей. Имеем

z2 - 6z

1 z - (z - 6)

æ 1

÷ .

- 6z

z(z - 6)

6 z(z - 6)

è z - 6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Подставляя в интеграл вместо дроби

ее разложение, получим

z2 - 6z

ez2 dz

dz =

ez2 dz - 1

ez2 dz = 1 2πie36 - 1 2πi =

z - 6z

|z−2|=5

|z−2|=5 z - 6 6

|z−2|=5

e36

-1

πi.

Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области G и непрерывна на ее границе Г, то для любого натурального n имеет место формула

f (n) (z) =	n!	!ò	f (η)dη		,	(2.13)
	2πi		(η - z)	n+1
		Г

где

z ÎGγ ,ηÎГ .

Этой формулой можно пользоваться для вычисления некоторых контурных интегралов.

Пример. Вычислить интеграл


!ò	sin πzdz	, где Г = {z \|\| z -1\|=1} .
	2
Г	(z2 -1)
Решение. Подинтегральная	функция		sin πzdz	является аналитической в области
			(z2 -1)2

| z −1|≤1 всюду, кроме точки z0 =1. Выделим под знаком интеграла функцию f (z), являю- щуюся аналитической в круге | z −1|≤1 . Для этого перепишем подинтегральную функцию

в виде

sin πz

(z +1)2

(z 2 -1)2

(z -1)2

Взяв в качестве f (z) =

sin πz

, полагая n =1, получим

(z -1)2

sin πz

!ò

(z +1)2

= 2πif

(1) .

-1)

|z−1|=1

Найдем производную:

sin πz

ö¢

πcos πz ×(z +1) - 2sin πz

(z) = ç

÷ =

(z +1)

Значение производной в точке z=1, равно

2πcos π

f (1)

= -

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Следовательно,

!ò	sin πdz	= -	π2i	.
	2		2
\|z−1\|=1	(z2 -1)

Задачи для самостоятельного решения

3.1. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы.

а)

!ò

ezdz

;

б)

!ò

eizdz

;

в)

!ò

;

+16

|z|=1

+ 2z

|z−i|=1

|z|=5

г)

!ò

(2 + sin z)dz

;

д)

!ò

(ezi

+ 2)dz

е)

!ò

sin3 z + 2

;

|z|=1

|z−6|=1

sin pz dz

sinizdz

ж)

!ò

; з)

;

и)

!ò

+ 9)(z + 9)

+ 2z - 3

- 4z + 3

|z|=4

|z−1|=2

|z|=2

к)

!ò

cos zdz

;

л)

!ò

sh2 zdz

;

м) !ò

z ×dz

;

(z + 4)

|z|=1

н)

!ò

1- sin z

dz ;

о)

!ò

1+ cos z

п)

!ò

ez2

;

dz ;

|z|=1/ 2

|z|=2

|z|=1/ 2

р)

!ò

+ cos z

dz ;

с)

!ò

eiz

dz ;

т)

!ò

+ sin z

dz .

|z|=3

|z|=1

|z|=

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.20196.78 Mб5Stroenie_veschestva_Laboratornye_raboty.doc
#
11.11.201880.38 Кб30Sushestvitelnoe-_rod_chislo.doc
#
03.12.2018645.63 Кб4Tablitsy.doc
#
05.06.2015361.98 Кб6tatwords.doc
#
19.04.2019262.84 Кб10Teoria_veroyatnostey_2.docx
#
05.06.2015611.32 Кб61TERECSHENKO.pdf
#
23.09.2019107.52 Кб12test1.doc
#
05.06.20151.22 Mб103Testy_k_ekzamenu.doc
#
16.11.2019458.24 Кб3topograficheskie_znaki (1).doc
#
26.11.201981.41 Кб3Trite metaphors.doc
#
25.11.20195.02 Mб59Uchebno-metodicheskoe_posobie_po_kursu_laborato...doc