3. Интегрирование функций комплексной переменной

Важным понятием в теории функций комплексной переменной является понятие интеграла по комплексной переменной.

3.1. Определение и вычисление интеграла по комплексной переменной

Пусть в каждой точке z, заданной непрерывной кусочно-гладкой кривой Γ определена однозначная функция f(z). Разобьем кривую Γ на n дуг с помощью точек z0, z1,K, zn , где

z0 – начало кривой, zn – конец кривой (рис.3.1).

Если Γ – кусочно-гладкая кривая, а f(z) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция, то интеграл (3.2) всегда существует. Действительно, полагая

f (ηk ) = u(x%k , y%k ) + iv(x%k , y%k ),

где

k =0

Действительная и мнимая части равенства (3.3) являются интегральными суммами для со- ответствующих криволинейных интегралов. В наших условиях эти интегралы существу- ют, а следовательно существует:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

С помощью формулы (3.4) вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению действительных интегралов. Из равенства (3.4) следуют, свойства интеграла от функции комплексной переменной, аналогичные свойствам криволинейных интегралов второго рода:

Из г) также следует, что

ò f (z)dz £ M × L ,

Γ

где L – длина кривой Γ , а M = max | f (z) | .

zΓ

3.2. Вычисление интегралов

Если Γ – непрерывная кусочно-гладкая кривая, задана уравнением z(t)=x(t)+i y(t), a ≤ t ≤ b , где функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на [a,b] за исключением ко-

нечного числа точек, то интеграл ò f (z)dz можно представить в виде:

Γ

Γa

По формуле (3.5) вычисление интеграла от комплексной переменной сводится к вычисле-

нию определенного интеграла по действительной переменной от комплекснозначной функции.

Пример. а) Вычислить

!ò (z - z0 )n dz , где G = {z | z - z0 |= R} .

Γ

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Решение. Уравнение кривой Г: z = z0 + Reit , 0 £ t £ 2π . Рассмотрим сначала случай n= – 1, тогда

Пример. б) Вычислить òzdz , где Г – отрезок, соединяющий точки z = 0, z =1+ i .

3.3.Интегральные теоремы Коши

Вобщем случае !ò f (z)dz зависит как от подинтегральной функции f (z), так и от

кривой Г. Однако если функция f(z) аналитическая в односвязной области, содержащей кривую Г, то интеграл не зависит от формы пути.

Теорема Коши. Пусть функция f(z) – аналитическая в односвязной области G. Тогда для любого замкнутого контура G Ì G, !ò f (z)dz = 0 .

Γ

Доказательство. Так как !ò f (z)dz = !ò udx - vdy + !ò udy + vdx , то применяя формулу

Γ Γ Γ

Замечание. Доказывается, что если f(z) аналитическая в G и непрерывна в замкнутой

области G = G + GG , то !ò f (z)dz = 0 .

ΓG

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Теорема Коши для многосвязных областей. Пусть функция f(z) – однозначная,

аналитическая в многосвязной области G с границей GG и внутренними контурами G1,G2,K,Gn и непрерывна в замкнутой области G = G + GG + G1 +K+ Gn , тогда имеет место

равенство

Доказательство. С помощью разрезов e1,e2,K,en превратим многосвязную область в односвязную (рис.3.2) с полной границей

Пример. Вычислить !ò (z - z0 )n dz , где Г – любой замкнутый контур, внутри которого

Г

находится точка z0 .

Решение. При n ³ 0, f (z) = (z - z0 )n аналитическая на всей плоскости, и следовательно по теореме Коши !ò (z - z0 )n dz = 0 . Если n<0, то f (z) = (z - z0 )n аналитическая, если z ¹ z0 .

Г

Пусть ρ >0, достаточно мало, такое, что окружность γp = { z || z - z0 |= ρ} лежит в облас- ти G (рис.3.3). Тогда в области G% = G - Gρ можно применить теорему о составном контуре. Получим:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com