- •Введение
- •1. Комплексные числа
- •1.1.Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости
- •1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •1.4. Показательная форма комплексного числа
- •2. Функции комплексной переменной
- •2.1. Множества точек на комплексной плоскости
- •2.2. Функция комплексной переменной
- •2.5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •2.6. Элементарные функции
- •2.7. Свойства действительной и мнимой части аналитической функции
- •3. Интегрирование функций комплексной переменной
- •3.1. Определение и вычисление интеграла по комплексной переменной
- •3.2. Вычисление интегралов
- •3.3. Интегральные теоремы Коши
- •3.4.Интегральная формула Коши
- •4.Функциональные ряды
- •4.1.Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
- •4.2. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций
- •4.4. Разложение функций в ряд Тейлора
- •4.5. Разложение функций в ряды Лорана
- •5.1. Определение особых точек. Вид ряда Лорана в окрестности И.О.Т.
- •5.2. Классификация изолированной особой точки
- •5.3. Вычет функции в изолированной особой точке
- •5.4. Основные теоремы о вычетах
- •5.5. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
- •6. Элементы операционного исчисления
- •6.1.Определение оригинала, изображение оригинала
- •6.2. Свойства преобразования Лапласа
- •6.3. Нахождение оригиналов
- •Литература
6. Элементы операционного исчисления
При решении многих прикладных задач с неизвестной функцией x(t) действительного переменного t, значительно проще решать задачи с образами этих функций полученных в результате ее интегрального преобразования. При этом часто дифференциальные, инте- гральные уравнения относительно x(t) заменяются на более простые алгебраические урав- нения относительно образа этой функции. Такой метод решения задач называется опера- ционным. Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, когда: 1) от чисел переходят к логарифмам; 2) над логарифмами проделывают операции;
3)от найденных логарифмов возвращаются к числу.
Вэтой главе излагаются основные положения операционного метода.
6.1.Определение оригинала, изображение оригинала
Определение. Изображением функции f(t) называют функцию комплексной перемен- ной p=a+ib, определяемую соотношением
∞ |
|
F( p) = òe− pt f (t)dt . |
(6.1) |
0 |
|
Функция F(p) называется преобразованием Лапласа для функции f(t). Выражение: «функ- ция f(t) имеет своим изображением F(p)» будем записывать символическим равенством
f (t) ! F( p) или F( p) ! f (t) . |
|
& |
& |
Функция F(p) существует не для всех функций f(t). Для того, чтобы существовала функ- ция F(p), функция f(t) должна быть оригиналом. Функция f(t) должна удовлетворять сле- дующим условиям:
1)f (t) º 0 при t < 0 ;
2)при t ³ 0 функция f(t) может иметь только конечное число точек разрыва первого
рода;
3)функция f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие
постоянные M > 0, α ³ 0 , что для всех t t ³ t0 > 0, | f (t) |≤ Meαt . Число α называют показа-
телем роста функции f(t). Для ограниченных оригиналов можно полагать α = 0 . Функция F( p) является аналитической функцией при Re p > α (рис.6.1). Действительно, покажем,
что существует F ′( p) , при Re p > α .
b
|
|
|
0 |
α |
a |
|
|
|
|
Рис.6.1. |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
= |
òt exp(-at - ibt) × f (t)dt |
£ |
|
|
|
||||
F ( p) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∞ |
∞ |
(6.1) |
£ òexp(-at) ×tM exp(αt)dt = M òt exp(-(a - α))t)dt < ¥, |
||
0 |
0 |
|
при a > α .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Законность дифференцирования несобственного интеграла по параметру следует из абсолютной сходимости продифференцированного интеграла (подинтегральная функция
f (t) ×t ×e− pt кусочно-непрерывная).
Замечание 1. Если p стремится к бесконечности, т.к. Re p = a неограниченно возраста- ет, то F( p) стремится к нулю, (следует из неравенства
∞∞
òe− pt f (dt) £ òMe−(a−α)t dt = aM- α ). |
|
0 |
0 |
Примеры. Найти изображение заданных функций:
а) |
|
ì0, t < 0, |
(функция Хевисайда). |
|
||||||||
σ(t) = í |
|
|||||||||||
|
|
î1,t ³ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
f (t) = eat ;t ³ 0,0 при t < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Указанные функции являются оригиналами. Для них выполнены все усло- |
|||||||||||
вия, поэтому получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
F( p) = òe− ptσ(t)dt = - |
|
e− pt |
|
= |
|
(M =1, α = 0, Re p |
> 0) . |
||||
p |
0 |
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|||
б) |
F( p) = òe− pteat dt = òe−( p−a)t dt = - |
e−( p−a)t = |
|
|||||||||
p - a |
|
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
, Re( p - a) > 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
p - a |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замечание |
2. Интегральное |
преобразование |
Лапласа, часто записывают в виде |
∞
F( p) = L[ f (t)] , где L – интегральный оператор L = ò(·)e− pt dt .
0
Замечание 3. В дальнейшем изложении все функции предполагаются умноженными на функцию Хевисайда.
6.2.Свойства преобразования Лапласа
1.Свойство линейности. Для любых комплексных чисел α,β справедливо равенство
αf (t) + βg(t) ! αF( p) + βG( p) ,
где
&
f (t) ! F( p), g(t) ! G( p) .
& &
Это свойство, является свойством интегралов. Используя это свойство, получим важные соотношения:
sin ωt
Аналогично,
cost
= |
eiωt - e−iωt |
1 |
æ |
1 |
- |
||||
|
|
|
! |
|
|
ç |
|
||
|
2i |
|
|
|
|
||||
|
|
& |
2i è p - iω |
|
|||||
! |
p |
; sh ωt |
! |
ω |
|
||||
|
|
|
|||||||
& |
p2 + ω2 |
|
|
|
|
& p2 - ω2 |
1 |
ö |
= |
|
ω |
|
|
. |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||
|
p2 |
+ |
ω2 |
|||||
p + iω ø |
|
|
|
|||||
; ch ωt ! |
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|
p2 - |
ω2 |
|
|||||
|
& |
|
|
|
2. Теорема подобия. Для любого постоянного c >0,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ |
p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ct) ! |
|
|
|
F ç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Действительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& c |
|
è |
c ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
u = ct |
|
|
|
|
|
∞ |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L[ f (ct)] = òe− pt f (ct)dt = |
|
|
|
|
1 |
òe− |
|
f (u)du = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dt = du |
|
= |
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
F |
æ |
|
p ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ç |
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
è |
|
c ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Дифференцирование оригинала. Если функции f(t), |
f |
′ |
(t), |
K |
, f |
(n) |
(t) |
– оригиналы и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (t) ! F( p) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
¢ |
(t) ! pF ( p) - f (0),K, f |
(t) |
! p |
F ( p) - p |
f (0) |
- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
& |
|
¢ |
|
|
|
(n−1) |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- p |
n−2 |
f |
|
|
|
(0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(0) -K - f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k ) (0) = lim f (k ) (t), k = 0,1,2,K,n -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f ¢(t) !& ò f ¢(t)e− pt dt = ( f (t) ×e− pt ) |
0∞ |
+ pò f (t)e− pt dt . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как Re p = a > α , то |
|
|
|
f (t) ×e− pt |
|
£ Me(a−α)t , и при t → ∞ f (t)e − pt = 0 , а при t=0 имеем f (0), |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
& pF ( p) − f (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применив эту формулу дважды, получим:
′′ |
! |
′ |
= p |
2 |
F ( p) − pf (0) − f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|||
f (t) |
& p( pF ( p) − f (0)) − f |
(0) |
|
(0) , и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Найти изображение f (t) = sin2 t . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. f ′(t) = 2sin t cost = sin 2t . |
L[ f ¢(t)] = L[sin 2t] = |
2 |
. С |
другой стороны, |
|||||||||||
p2 + 4 |
|||||||||||||||
2 |
|
= pF( p) - f (0) , где |
F ( p) ! sin2 t, f (0) = sin 2 |
0 = 0 , поэтому F( p) = |
|
2 |
|
. |
|||||||
p2 + |
4 |
p( p2 |
+ 4) |
||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. Из (6.3) следует, что lim |
pF( p) = f (0) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (– t) оригинала,
F(n) ( p) ! (-1)n tn f (t) (tn f (t) ! (-1)n F(n) ( p)). |
|
& |
& |
Действительно, так как F( p) является аналитической в полуплоскости Re p > α , то ее можно дифференцировать по p, и мы получаем:
¢ |
∞ |
|
− pt |
|
|
òt f (t)e |
dt = -L[t × f (t)], |
|
|||
F ( p) = - |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
2 |
− pt |
2 é 2 |
ù |
|
¢¢ |
|
||||
|
|
|
dt = (-1) L ët f (t)û |
||
F ( p) = òt f (t)e |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ит.д. Из свойства (4) и равенства 1 ! 1 , следует, что
&p
tn ! |
n! |
,tnebt ! |
n! |
. |
|
|
|||
& pn+1 |
& ( p - b)n+1 |
|
5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изо-
|
t |
& |
p |
|
|
ò |
|||
бражения на p: |
|
f (u)du ! |
F( p) |
. |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Функция g(t) = ò f (u)du является оригиналом. Действительно, первые два условия вы-
0
полнены, а третье вытекает из неравенства
|
t |
|
t |
|
M |
|
t £ M eαt . |
||
| g(t) |£ |
ò |
f (u)du £ M |
ò |
eαudu = |
eαu |
||||
α |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Обозначив изображение g(t) через G(p), и учитывая, что g(0)=0, по свойству дифференци- рования оригинала получим:
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
L[g (t)] = p ×G( p) - g(0) = |
F( p), G( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
6. |
Интегрирование изображения. Если интеграл òF(u)du |
сходится, то он служит |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
f (t) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
изображением функции |
|
, т.е. |
!& òF(u)du . |
|
||||||||||||||||
|
t |
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
f (t) |
|
|
|
|||
|
Действительно, обозначив F( p) = òe− pt |
|
dt |
, имеем т.к. Φ( p) |
изображение, то Φ(∞)=0 . |
|||||||||||||||
|
|
t |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме о дифференцировании изображения: |
|
|
|
|||||||||||||||||
¢ |
|
|
|
f (t) |
= - f (t) , но − f (t) ! −F( p) , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F ( p) |
! (-t) × |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому |
Φ′( p) = −F ( p) |
|
φ( p) = -òF(u)du + c , |
но |
Φ(∞) = 0 , поэтому c=0, следовательно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!& òF(u)du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти изображение |
f (t) = |
1- et |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Решение.
1- et ! ∞ò t &
p
f (t) =1- et |
! |
1 |
|
= F( p) ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
& p( p -1) |
|
|
|
|
|
|
|||
du |
∞ |
(u - (u -1)) |
∞ du |
∞ du |
|
||||||
|
= ò |
|
|
=ò |
|
|
- ò |
|
= |
||
u(u -1) |
|
u(u -1) |
u -1 |
u |
|||||||
|
p |
|
|
|
|
p |
p |
|
|
= ln(u -1) |
|
∞ - ln u |
|
∞ = ln |
u -1 |
|
|
∞ |
= -ln |
p -1 |
= ln |
p |
, Re p >1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
p |
|
p |
u |
|
p |
|
p |
p -1 |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
7. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ > 0, f (t − τ) ! e− pτ F( p) . |
||||||||||||
Т.к. f (t − τ) = 0 , при t < τ , то |
|
|
|
|
|
|
& |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
L[ f (t - τ)] = ò f (t - τ)e− pt dt = ò f (t - τ)e− pt dt = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
t - τ = u |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
t = u + τ |
|
= ò f (u)e− pu− pτdu = e− pτ F( p). |
|
|||||||
|
|
|
dt = du |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8. Теорема смещения. Для любого комплексного числа λ |
|
|||||||||||
eλt f (t) ! F( p − λ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем & |
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
é |
|
|
− pt |
|
|
−( p−λ)t |
|
|
||||
λt |
ù |
|
|
e |
λt |
f (t)dt = òe |
f (t)dt = F( p |
- λ) . |
||||
L ëe |
|
f (t)û = òe |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
9. Изображение свертки функций. Сверткой функций f(t) и g(t), 0 ≤ t < ∞ , обозначае-
мой ( f * g ) называется интеграл
t
φ(t) = ( f * g) = ò f (τ)g(t - τ)dτ .
0
Функция φ(t) является оригиналом, первые два свойства выполнены, а третье следует из
оценки
|
t |
|
|
t |
|
|
||
|
ò f (τ)g(t - τ)dτ |
£ M |
òeα1τ eα1(t−τ)dτ |
= Mteα1t , |
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
где α1 – наибольший из показателей роста функций f(t), g(t). |
||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ò f (τ)g(t - τ)dτ |
£ M1eα2t . |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
æ t |
ö |
||||
|
L[( f * g)] = òe |
− pt ç |
ò f (τ)g(t - τ)dτ |
÷ |
||||
|
ç |
÷dt = |
||||||
0 |
|
è |
0 |
|
|
ø |
∞∞
=ò f (z)dτòe− pt g(t - τ)dτ = F( p) ×G( p),
0 |
τ |
∞ |
|
т.к. òe− pt g(t - τ)dτ = e− pτG( p) по теореме запаздывания.
τ
Интеграл Дюамеля. В приложениях операционного начисления, часто изображения приводятся к виду p × F( p) ×G( p) . Оказывается, что с помощью оригиналов f(t) и g(t) мож-
но найти оригинал и для выражения p × F( p) ×G( p) .
Для этого запишем это выражение следующими двумя способами:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
pF( p)G( p) = f (0) ×G( p) + ( pF( p) - f (0))G( p)
или
pF( p)G( p) = g(0) × F( p) + ( pG( p) - g(0)F( p) .
Но
pF ( p) − f (0) !
&
поэтому
f ′(t), pG( p) − g(0) ! g′(t) ,
&
& |
|
t |
|
ò |
¢ |
||
pF( p)G( p) ! f (0) × g(t) + |
|
|
f (τ) × g(t - τ)dt , |
или |
|
0 |
|
|
t |
|
|
& |
|
|
|
|
ò |
¢ |
|
pF( p) ×G( p) ! g(0) × f (t) + |
|
g (τ) × f (t - τ)dt . |
|
|
|
0 |
|
Пример. Найти изображение периодической функции f(t) с периодом T, если известно
ì f (t), t Î(0,T );
изображение G(p) функции g(t) = í
î0, t Ï(0,T ).
Решение. Пусть f (t) ! F( p) . Используя свойство периодичности функции f(t) и изо- |
||
& |
|
|
T |
|
|
бражение G( p) = ò f (t)e− pt dt , преобразуем изображение F(p): |
||
0 |
|
(k+1)T |
∞ |
∞ |
|
F( p) = ò f (t)e− pt dt = å |
ò f (t - kT )e− pt dt . |
|
0 |
k =0 |
kT |
(k+1)T |
|
|
Интеграл ò f (t - kT )e− pt dt |
заменой t–kT=u приводится к виду |
|
kT |
|
|
T |
|
T |
ò f (u)e− pu− pTk du = e− pTk ò f (u)e− pudu . |
||
0 |
|
0 |
После преобразований запишем изображение F(p):
|
|
∞ |
T |
∞ |
G( p) |
|||
F( p) = åe− pTk ò f (u)e− pu du = G( p)åe− pkT = |
||||||||
|
. |
|||||||
1- e− pT |
||||||||
|
|
k=0 |
0 |
k=0 |
|
|
||
Окончательно: F( p) = |
|
G( p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
- e− pT |
|
|
|
|
При решении задачи нахождения изображения полезно использовать таблицы 1, 2.
Таблица 1. Свойства изображений.
|
Оригинал |
Изображение |
|||||
1 |
n |
|
n |
|
|
|
|
åci fi (t) |
åci Fi ( p), ci = const |
||||||
|
i=1 |
|
i=1 |
||||
2 |
f (ct) |
1 |
|
æ p ö |
|||
|
|
|
|
|
F ç |
|
÷,c = const,c > 0 |
|
|
|
c |
|
|||
|
|
|
è c ø |
||||
3 |
f (t − τ) |
e− pτF( p) |
|||||
4 |
eλt f (t) |
|
F( p − λ) |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
|
Оригинал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
f |
(n) |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
f (0) |
|
f |
(n−1) |
(0) |
ö |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn ç F( p) - |
|
-K- |
|
|
÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
p |
|
p |
|
÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||
|
6 |
|
|
(-1)n tn f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (n) ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
7 |
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òF(u)du |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ò f (u)du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) ×G( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ò f (τ)g(t - τ)dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
|
lim pF( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 2. Изображение некоторых функций. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1(σ(t)) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
tn |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
πt |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
ta , a > -1 |
|
G(a +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5 |
|
eαt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p - α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
tn−1eαt |
1 |
|
|
|
|
|
|
n =1,2,K |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(n -1)! |
|
( p - α)n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
1 |
|
|
(eat - ebt ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a - b |
|
( p - a)( p - b) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
8 |
|
sin ωt |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
|
cosωt |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
shωt |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 - ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
chωt |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 - ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
t sin ωt |
|
|
|
2 pw |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 + w2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
t cosωt |
|
p2 - ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 +ω2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com