shpargalka_po_Difuram

1.Дифференциальные уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение вида

F(x, y, y') 0 ,связывающее независимую переменную x, искомую функцию y f (x) и её производную y'(x) . При изложении

теории дифференциальных уравнений чаще всего рассматриваются уравнения, разрешенные относительно производной y'(x) :

y' f (x, y) или уравнения в так называемой симметричной форме:

Р(x, y)dx Q(x, y)dy 0

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y (x) , которая, будучи подставленной

вместе со своей производной в уравнение, обращает его в тождество F x, (x), '(x) 0. Любое

дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением. Общее решение дифференциального уравнения 1 порядка является функцией,

зависящей от одной произвольной постоянной y (x, c).

Если решение найдено в неявной форме (x, y) c, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения.

2.Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1 порядка y' f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение функций, одна из которых зависит от

переменной x , другая – от y: y' f1(x) f 2 ( y).

Уравнение, записанное в симметричной форме

Р(x, y)dx Q(x, y)dy 0 является уравнением с разделяющимися переменными, если множители P(x, y) и

Q(x, y) представляют собой произведение функций, из которых

одна зависит только от переменной x , другая – от переменной y :

1(x) 2 ( y) dx 1(x) 2 ( y) dy 0

Разделить переменные – значит преобразовать уравнение так, чтобы каждая переменная содержалась только в том слагаемом, которое содержит её дифференциал.

Вид уравнения: 1 1 + 2 2 = 0. Решение уравнения: приводим к уравнению с разделенными переменными ( + = 0) путем деления общих

уравнению + = 0 делением обеих частей на N(y):

1 2

=− 1 + 2

= | − ln 1 + 2 + ln | |

Потенцируя, найдем общее решение в виде = 1+ 2

3. Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися

переменными.

Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида

где а и Ь — постоянные величины, которые заменой переменных z — ах+by преобразуются в уравнения с разделяющими переменными. Действительно, переходя к новым переменным х и z, будем иметь

или

И переменные разделились. Интегрируя, получим

Разделяя переменные получим и интегрируя получим

К уравнен. с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные урав-ния 1 порядка

имеющие вид

4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение, линейное относительно функции и её производной:

y'P( x )y Q x - уравнение, линейное относительно y x ;

x' P( y )x Q y - уравнение, линейное относительно x y .

Здесь P x , Q y - заданные функции или константы. При

Q 0 уравнение называется однородным, при Q 0 -

неоднородным.

Однородные линейные уравнения (Q=0) могут быть решены разделением переменных. Неоднородные линейные уравнения можно свести к последовательности двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой

y u( x ) v( x ),

yu' x v x u x v' x .

Влинейном однородном уравнении переменные разделяются:

И интегрируя получаем

(2)

При делении на у мы потеряли решение у≡ 0, однако оно может быть включено в найденное семейство решений (2), если считать что с может принимать значение 0.

5. Уравнения 1 порядка. Метод вариации произвольной постоянной.

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения

Может быть применен так называемый метод вариации постоянной При применении этого метода сначала интегрируется

соответствующее однородное уравнение

Общее решение которого имеет вид

При постоянном с, функция является решением однородного уравнения. Попробуем теперь удовлетворить неоднородному уравнению, считая с функцией х, т.е.по существу совершая замену переменных

Где с(х) – новая неизвестная функция х. Вычисляя производную

И подставляя в исходное неоднородное уравнение получим

Или

Откуда интегрируя находим

А следовательно

(*)

Итак общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения.

и частного решения неоднородного уравнения

получающегося из (*) при с1=0. Пример

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

Считаем с функцией х, тогда

И подставляя в исходное уравнение после упрощения получаем

Следовательно общее решение

6. Уравнение 1 порядка.Метод Бернулли

′ + = . (1).Функцию ( ) будем искать, как частное

Таким образом, общее решение линейного уравнения ( ) имеет вид: = = ( + ) − ( ) .

7. Уравнение Бернулли

Решение осуществляется методом Бернулли или сведением к линейному, путем замены переменных. Например, уравнение Бернулли имеющее вид

Или

(*)

Заменой переменных сводится к линейному

уравнению. Действительно, дифференцируя находим

И, подставляя в (*) получим линейное уравнение

Пример.

и т.д.

8. Уравнения в полных дифференциалах

Вид уравнения: , + , = 0, где функции

′ =

=

, = + + + = .

9. Интегрирующий множитель

Рассмотрим уравнение , + , = 0 . (1) если ≠ , то иногда удается подобрать такую

функцию , , после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом, общее решение которого совпадает с общим решением первоначального

10. Дифференциальные уравнение высших порядков. Общие сведения

Диф.уравнения n порядка имеют вид

( ) = ( , , ′ , … , (−1)), или если они не разрешены относительно старшей производной, , , ′ , … , = 0.

Теорема.Существует единственное решение дифференц. уравнения n порядка ( ) = ( , , ′ , … , ( −1)), удовлетворяющее условиям

0 = 0; ′ 0 = 0′ ; … ; −1 0 = 0( −1), если в окрестности начальных значений ( 0, 0, ′ 0, … , 0 −1 ) функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица(существует число q, 0<= q < 1 такое, что P(F(x), F(y))<= qP(x, y) для всех x, y принадл. X.) по всем аргументам, начиная со второго. Общим решением дифф.уравнения n порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения в некоторой области изменения аргументов удовлетв.условиям теоремы, то общ.решение зависит от n параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например начальные значения искомой функции и ее производных.

11. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение 1 порядка = ( , ). Решив его находим = ( , 1)

= 1 + 2 = 2 1

14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Лин.Диф.Ур-нием n порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид:

линейным однородным, т.к.оно однородно относительно неизвестной ф-ии и ее производных.,иначе называется не однородным. Если

Т4. Если на каком либо отрезке , при начальных условиях 0, 0 ≠ 0 и определитель Вронского в этой точке ≠ 0, то во всех остальных точках отрезка опред-ль Вронского ≠ 0.

Т5. Если 1 и 2 есть лин.независимые частные решения ур-ния (1), то общее решение этого уравнения можно представить в виде: = 1 1 + 2 2.

1.это выражение явл-ся решением 2.это решение явл-ся общим решением.( = )

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод

Подбора

′′ = ′ + = ( )

Т.Общее решение лин.неоднородного ур-ния может быть представлено как сумма двух решений.

= + ( ) где -общее решение, -к- либо частное решение неоднородн.ур-ния.

Пусть 1, 2 есть решения соответств. однородного ур-ния:

= 1 1 + 2 2

′′ + ′ + + ′′ + ′ + = ( ) (скобка =0).

0 = 0

′ ( 0) = ′ 0

= 1 3 + 2 -общ.решение.

= 2 + + 3

′ = 3 2 + 2 + 3 + 3( 3 + 2 2 + ) 3

6 + 2 + 18 2 + 12 + 6 + 9 3 + 9 2 + 9

−12 2 − 8 − 4 − 12 3

−12 2 − 12 + 3 3 + 3 2

+ 3 = 2

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод вариации произвольной постоянной

′′ + ′ + = ( )

= 1 1 + 2( ) 2

′ = ′1 1 + ′2 2 + 1′1 + 2′2

′1 1 + ′2 2 = 0

′ = 1′1 + 2′2

′′ = ′1′1 + ′2′2 + 1′′1 + 2′′2

′1′1 + ′2′2 + 1′′1 + 2′′2 + 1′1 + 2′2 + 1 1

Пример.

′′ + =2 + 1 = 0

1,2 = ±

= 1 + 2

′ = −1 + 2

′′ = −1 − 2

…

= − ln 1 + sinx + 1 cosx + 2 sinx cosx

17. Уравнение Эйлера

0 ( ) + 1 −1 (−1) + + −1 ′ + = ( )

где все −постоянные, называются уравнениями Эйлера. Ур-ние Эйлера заменой независимого переменного x= (t=lnx; y(x)=y(x(t)))преобразуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.