Граничные условия

Граничными условиями для TE компонент поля является равенство тангенциальных компонент E_φ и E_z при r=a. Точно такое же равенство должно иметь место для тангенциальных компонент магнитного поля H_φ и H_z при r=a,

(87) (88) (89) . (90)

Эти граничные условия дают четыре уравнения для произвольных постоянных A, B, C и D. При этом q²=u²=k₁²-β², где k₁=2πn₁/λ, λ – длина световой волны в вакууме, в то время как для оболочки q²=w²=β²-k₂², где k₂=2πn₂/λ. Используя (88), имеем:

. (91)

Используя (87) и (73) совместно с (83) и (84), получаем:

, (92)

где верхние черточки означают дифференцирование по u и w аргументу.

Точно также, относительно тангенциальных компонент магнитного поля при r=a, имеем:

(93)

и

. (94)

Выражения (91)-(94) представляют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными (коэффициенты) без правой части. Ненулевые решения этой системы можно найти из условия равенства нулю определителя этой системы:

, (95)

где

. (96)

Вычисление определителя (95) позволяет определить показатели распространения β, соответствующие разрешенным модам распространения из следующего нелинейного уравнения:

. (97)

Выражение (97) называется характеристическим уравнением рассматриваемой краевой задачи распространения света в оптоволокне. Константа β определяется численными методами при условиях u²=k₁²-β² и w²=β²-k₂².

Характеристики мод

Уравнение (97) содержит J_ν – функции Бесселя. Эти функции подобны гармоническим функциям и носят осциллирующий характер по мере увеличения аргумента. Соответственно, имеется много корней этих функций при заданном значении порядка ν. Такие корни обозначаются как β_νm и соответствующими модами являются либо TE_νm, TM_νm, EM_νm или HE_νm. Если положить H_z=0, то полевые компоненты выражаются в терминах E_z и, какое бы мы поле не рассматривали, оно содержит поперечные компоненты типа ТM мод. Подобно, если E_z=0, то моды представляют собой только поперечные TE моды. Если две продольные компоненты поля (E_z и H_z) имеют ненулевые компоненты, то такие моды называются гибридными. В случае оптоволокна все моды являются гибридными за исключением случая ν=0, когда правая часть уравнение (97) равняется нулю, и мы имеем два случая:

(98)

или

. (99)

Используя рекуррентные соотношения для функций Бесселя: J₀^’(x)=J₁(x) и K₀^’(x)=-K₁(x). Используя эти равенства, уравнения (98) и (99) можно переписать в виде:

(100)

, (101)

что соответствует TM_0m модам (H_z=0).

Когда ν≠0, ситуация становится более сложной. В этом случае возникает необходимость применения численных методов для анализа компонентов светового поля вследствие сложности уравнения (97).

Граничные частоты

Граничная частота - это частота, когда мода уже не может связывается с областью сердцевины волокна. Эти условия могут быть определены из условия w²→0. Некоторые из этих условий для низших мод можно оценить из следующей таблицы.

Таблица 1

Условия для определения граничных частот для некоторых мод малого порядка.

Разрешенный интервал для параметра распространения β, как это указывалось выше, лежит в интервале n₂k=k₂≤β≤k₁=n₁k, где k=2π/λ – волновое число.

Важным параметром, связанным с частотным ограничением распространения световых волн в оптоволокне является нормализованная частота V (также V-число или V-параметр), определенный как

. (102)

V-параметр определяет число мод существующих в оптоволокне. Число мод, которые могут существовать в оптоволокне как функция от V, могут быть выражены в терминах нормализованной константы распространения b:

. (103)

рис.22. Зависимость b от V.

Зависимость b как функция V показана на рис.22 для первых наименьших мод. Из рисунка видно, что моды существуют только для тех V, которые превосходят некоторое предельное значение. Моды затухают, когда β/k=n₂. При этом у моды HE₁₁ не может существовать частота отсечки и исчезает только при стремлении диаметра сердцевины к нулю. Отсутствие частоты отсечки для гибридной HE₁₁ моды является тем принципом, на котором базируется технология изготовления оптического волокна. Произвольно выбирая значения a, n₁ и n₂ таким образом, чтобы выполнялось неравенство

, (104)

мы обеспечиваем выполнение условий для обеспечения одномодового режима (J₀=0). При этом все моды, за исключением HE₁₁ затухают.