Двумерный кристалл
Двумерная (2D) плотность состояний должна отражать квантовые свойства электронного газа в двух измерениях.
Пусть имеется полоска полупроводникового материала макроскопических размеров в x и y направлениях, в то время как толщина полоски очень мала (нанометры). Периодические граничные условия в x и y направлениях приводит к следующим соотношениям для возможных значений волнового вектора:
, n,
l=1,
2,3…. (34)
Площадь, приходящаяся на одно значение вектора k в этом случае равняется
. (35)
Число состояний внутри круга с радиусом k:
, (36)
где учитывается двойное вырождение плотности состояний по спину.
Число состояний, лежащих между значением волнового вектора k и k+dk, равняется
. (37)
Аналогично, число состояний между энергиями E и E+dE можно рассчитать из следующего соотношения:
. (38)
В результате, число состояний на единицу площади и единицу энергии, равняется:
. (39)
Рассматривая электроны как свободные частицы, имеем соотношение:
, (40)
соответственно, 2D-плотность электронных состояний принимает форму:
. (41)
рис.2. Квантование энергий электрона в 2D-кристалле.
Из (41) видно, что 2D-плотность состояний не зависит от энергии. Однако, ρ(E) зависит от собственно энергетических состояний (уровней) и, т.о., представляет собой сумму от всех вкладов дискретных уровней:
, (42)
где
- (43)
ступенчатая функция Хевисайда и Ecn – отмечает минимумы зоны проводимости двумерного кристалла (рис.2). Дискретность уровней зоны проводимости следует из-за малости ширины двумерного кристалла. Фактически это один атом, уровни энергии которого обладают дискретным энергетическим спектром.
рис.3. Ступенчатая плотность электронных энергетических состояний в 2D-кристалле.
Примером реализации 2D-кристаллов с запрещенным распространением электрона в одном направлении и разрешенным в двух других направлениях является GaAs – AlxGa1-xAs сверхрешетка, показанная на рис.4.
рис.4. Координатная потенциальная диаграмма сверхрешетки GaAs – AlxGa1-xAs.
Одномерный кристалл
Электронная система, в которой свободный электрон может распространяться только в одном направлении, и ограничен в своем распространении в двух других, представляет из себя одномерный кристалл.
рис.5. Пример конструкции одномерного кристалла, когда движение электронов ограничено потенциальными барьерами в направлениях y и z.
Уравнение Шредингера в этом случае записывается в виде:
, (44)
где потенциал в x и y – измерениях иллюстрируется рис.5.
Предполагая, что свободное распространение электрона в x-направлении не зависит от двух других координат, возможное решение задачи записывается в виде:
. (45)
В общем случае переменные в уравнении не разделяются в случае конечной высоты потенциальных барьеров и уравнение Шредингера
(46)
является более сложным для решения, чем в случае единственной квантовой ямы.
Если допустить, что барьеры не проницаемы для электрона, то имеется решение уравнения в виде стоячих волн:
, (47)
когда φ=0 на границах потенциальной ямы и
. (48)
Подставляя эти выражения в уравнение при V=0, находим систему дискретных уровней:
.
(49)
Вдоль оси x электрон двигается свободно и обладает полной энергией
. (50)
рис.6. Плотность электронных состояний в случае 1D-кристалла.
Плотность состояний рассчитывается вдоль той же линии, как это имеет место в случае квантовой ямы.
. (51)
В этой простой модели
(рис.6).