1.8.1. Дополнительные задачи.

Пример 1.8.1.Сегмент цилиндра, имеющий жёсткие стенки, с внутренним радиусоми внешним, вращается с постоянной угловой скоростьювокруг оси, совпадающей с осью цилиндра (рис.1.6). Внутри сегмента находится газ с молярной массойи постоянной температурой. Найти распределение давлениявнутри сегмента в зависимости от расстояниядо оси вращения, если известно, что. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Рис.1.6. Сегмент цилиндра с газом, вращающийся вокруг оси.

Рис.1.7. Силы, действующие на элемент сегмента .

Решение.Введём вращающуюся с угловой скоростьюсистему координат, где– полярные координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения, осьнаправим вдоль оси вращения. Тогда сегмент цилиндра будет занимать область, где– угол между боковыми гранями сегмента (рис.1.6). При постоянной угловой скорости вращения сегмента давление не будет зависеть от, при небольших высотахсегмента зависимостью давления отможно пренебречь, т.е. давление внутри сегмента будет зависеть только от расстоянияточки до оси вращения. Запишем условие равновесия для элементарного столбика сегмента(рис.1.7). Пустьи– плотность и давление газа в точке на расстоянииот оси вращения. Перечислим силы, действующие на сегмент:– центробежная сила,– силы давления со стороны соседних элементов сегмента. Модули этих сил:

(1.20)

где . Условие равновесия элементаво вращающейся системе отсчёта имеет вид:

. (1.21)

Проецируя векторное уравнение (1.21) на направление вектора (рассматривая радиальные составляющие сил), получим уравнение

,

а поскольку при, то

. (1.22)

Подставим (1.20) в (1.22):

;

разделив данное уравнение на и перейдя к пределу при, получим дифференциальное уравнение

,

которое с учётом соотношения между плотностью и давлением в идеальном газе

примет вид

. (1.23)

Разделяя переменные в (1.23) и интегрируя, имеем , и после потенцирования. Поскольку, то, и окончательно получим искомое распределение

.

Д1.Из наполненного изначально доверху лежащего на боку цилиндрического бака с радиусомм и высотой м через отверстие в самой нижней части радиусомсм вытекает вода. Найти зависимостьуровня воды в баке от времени. За какой промежутоквремени вытечет вся вода?

Д2.Резиновый шнур длиной в 1 м под действием горизонтальной силыН удлиняется наметров. На сколько удлинится такой же шнур длиныи массыпод действием своего веса, если шнур подвесить за один конец?

Д3.Решить задачу 1.8.29 с учётом изменения давления внутри мяча при его деформации, процесс сжатия считать изотермическим. Начальное давление внутри мячаПа, давление снаружиПа.

Д4.Решить задачу Д3, считая процесс сжатия адиабатическим, т.е. происходящим без теплообмена с окружающей средой. Уравнение адиабаты, где. Воздух внутри мяча считать двухатомным идеальным газом, т.е..

Д5.Диэлектрическая пластинка может скользить без трения горизонтально между вертикально расположенных обкладок плоского конденсатора, заряженного и отключённого от источника питания. Длина обкладок, высота, размеры пластинки соответствуют размеру конденсатора, между пластинкой и обкладками есть тонкий зазор, которым можно пренебречь. В начальный момент пластинка имела смещениеотносительно обкладок и нулевую скорость, а затем начала втягиваться внутрь между обкладками. Найти зависимостьскорости пластинки от смещенияеё относительно обкладок конденсатора. Найти её скорость в момент, когда она полностью будет находиться между обкладок (). Заряд на конденсатореКл,м; плотность пластинки, её диэлектрическая проницаемость;. Электрическая постоянная.

Указание.Проекция на осьxсилы, действующей на пластинку, находится по формуле, где– потенциальная энергия конденсатора в зависимости от смещения пластинки.

Д6.На северном полюсе Марса исследователи обнаружили скважину многокилометровой глубины, прорытую к центру планеты. Скважина заполнена газом с молярной массой. Найти распределение давления газа в скважине в зависимости от глубины, если на поверхности давление равно, температура газа не зависит от глубины и равна. Плотность Марса считать постоянной и равной, гравитационная постоянная, радиус Марса, универсальная газовая постоянная.

Указание.При расчёте учитывать, что благодаря закону обратных квадратов ускорение свободного падения в точке, находящейся внутри сферически симметричного тела на расстоянииот его центра, не зависит от массы, находящейся снаружи сферы радиуса.

Д7. Длинный узкий цилиндр, заполненный идеальным газом с молярной массойи запаянный, вращается с угловой скоростьювокруг оси, перпендикулярной его оси и проходящей через одно из его оснований. Найти распределение давления внутри цилиндра в зависимости от расстояниядо оси вращения, если вблизи неё давление равно. Температура во всех точках цилиндра равна, универсальная газовая постоянная.

Д8.Конус, погруженный в жидкость вершиной вниз, имеет положение равновесия при глубине погружения вершины, равной. В начальный момент конус погружают до глубиныи отпускают без начальной скорости. Найти зависимость скорости конуса от глубиныпогружения его вершины. Плотность жидкости, сопротивлением её пренебречь.

Д9. Два металлических шарика, имеющие зарядыи, соединены лёгким непроводящим стержнем длины, который может вращаться вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через его середину. Данную конструкцию помещают в однородное электрическое поле напряжённостью, которая перпендикулярна оси вращения. Найти зависимость угловой скоростивращения стержня от угламежду напряжённостью электрического поля и стержнем, если в начальный момент стержень был перпендикулярен полю, а угловая скорость была равна нулю. Масса каждого из шариков равна. Массой стержня, сопротивлением среды и трением в оси пренебречь.

Д10. От одной из обкладок плоского конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения, отрывается пылинка массойс первоначальным зарядоми начинает двигаться к другой обкладке, испытывая сопротивление со стороны воздуха, заполняющего пространство между обкладками, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом. Заряд пылинки непрерывно меняется по экспоненциальному закону вследствие утечки свободных электронов и через 1 мс после отрыва составил. Найти зависимость скорости пылинки от времени, если расстояние между обкладками равно, краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.