- •1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1.1. Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Однородные дифференциальные уравнения
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения
- •1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
- •1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для решения задач физики и химии
- •Справочный материал
- •1.8.1. Дополнительные задачи.
- •1.9. Уравнения Лагранжа и Клеро
1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение называют уравнением Бернулли, если оно имеет вид
, (1.6)
причём, в выражении (1.6) требуем, чтобы не равнялось 0 или 1, так как при этих значениях уравнение (1.6) есть линейное уравнение. Заметим, что в случае>0 сразу выделяется одно из решений уравнения=0.
Известно, что при помощи подстановки уравнение Бернулли превращается в линейное уравнение:
Применив стандартный алгоритм решения линейного уравнения, находят функцию . Затем из равенстванаходят решение исходного уравнения.
Пример 1.5.Решить дифференциальное уравнение Бернулли∙.
Решение.1) Заданное дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли для случая=. Функцияявляется его решением.
2) Считая , перепишем заданное уравнение в виде. Применив подстановку=,, получаем линейное дифференциальное уравнение, гдеи.
3) Полагая , перепишем заданное уравнение=.
4) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение=, или=.
5) Теперь, интегрируя уравнение , получаем =+=+.
6) Таким образом, =∙. Так как=, получаем решение заданного уравнения=∙.
Ответ.=·, .
Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.5.1. |
. |
1.5.16. |
. |
1.5.2. |
. |
1.5.17. |
. |
1.5.3. |
. |
1.5.18. |
. |
1.5.4. |
. |
1.5.19. |
. |
1.5.5. |
. |
1.5.20. |
. |
1.5.6. |
. |
1.5.21. |
. |
1.5.7. |
. |
1.5.22. |
. |
1.5.8. |
. |
1.5.23. |
. |
1.5.9. |
. |
1.5.24. |
. |
1.5.10. |
. |
1.5.25. |
. |
1.5.11. |
. |
1.5.26. |
. |
1.5.12. |
. |
1.5.27. |
. |
1.5.13. |
. |
1.5.28. |
. |
1.5.14. |
. |
1.5.29. |
. |
1.5.15. |
. |
1.5.30. |
. |
1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Если для дифференциального уравнения выполнено условие=, его называют уравнением в полных дифференциалах: в этом случае существует функция, для которой выражениеявляется ее полным дифференциалом. Так как полный дифференциал функции имеет вид, то должны выполняться равенстваи. Если функциянайдена, то равенство=, где− произвольная постоянная величина, задает семейство решений дифференциального уравнения в полных дифференциалах.
Для нахождения функции используют стандартный алгоритм, который иллюстрирует приведённый ниже пример.
Пример 1.6. Решить уравнение, предварительно удостоверившись, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Решение.1) Вычислим производные=3 и=3. Равенство=подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2) Учитывая, что , вычислим=+. В нашем случае имеем:
=+ =+. (1.7)
3) Вычислим производную =–. В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражениеи (1.7), получаем=.
4) Интегрируя, находим функцию ==.
5) Подставляя в (1.7), записываем общее решение заданного уравнения
=+==.
Ответ.==.
Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.6.1. |
1.6.16. | ||
1.6.2. |
1.6.17. | ||
1.6.3. |
1.6.18. | ||
1.6.4. |
1.6.19. | ||
1.6.5. |
1.6.20. | ||
1.6.6. |
1.6.21. | ||
1.6.7. |
1.6.22. | ||
1.6.8. |
1.6.23. | ||
1.6.9. |
1.6.24. | ||
1.6.10. |
1.6.25. | ||
1.6.11. |
1.6.26. | ||
1.6.12. |
1.6.27. | ||
1.6.13. |
1.6.28. | ||
1.6.14. |
1.6.29. | ||
1.6.15. |
1.6.30. |