§ 6. Системы линейных уравнений.
6.1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Решение системы равнений с использованием формул Крамера проводится для систем линейных неоднородных уравнений -го порядка в случае, когда уравнений столько же, сколько и неизвестных:
(1)
где коэффициенты ,; – вещественные числа; , – искомые неизвестные; , – вещественные числа, их называют: свободные члены. Числа: , считаем заданными.
Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных), матрице соответствует определитель:
=, =.
Замечание: решение системы уравнений с применением формул Крамера не предполагает построения и использования расширенной матрицы .
Было показано, что если , то для записи решений системы уравнений (3) можно использовать формулы Крамера: , , где:
=.
Формулы , , определяют единственное решение, причем не нулевое, так как по условию в правой части (3) имеются не равные нулю bi.
Трудоемкость применения правила Крамера оценивают трудоемкостью вычисления (n+1)-го определителя n-го порядка. Достоинство метода в том, что в записи решения системы используются только коэффициенты исходного уравнения. Нередко последнее оказывается важным в теоретических исследованиях.
Замечание: при исследовании произвольной системы линейных уравнений (как неоднородных, так и однородных) формулы Крамера так же применяют, но только после того, как проведено общее исследование системы методом Гаусса или применением теоремы Кронекера-Капелли.
Ниже рассмотрены примеры решения систем уравнений с использованием формул Крамера.
Примеры (и образец оформления):
Пример –1: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.
Решение:
1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =–3.
2) Вычислим определители:
==–3, ==–6, ==–6, ==0.
2) Применяя формулы Крамера: , , получаем: =1, ==2, =0.
Ответ: решение: (1,2,2,0).
Пример –2: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.
Решение:
1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =0.
Замечание: так как =0, то задание решить систему уравнений с применением формул Крамера не выполнима, и автор решения вправе заявить об этом и далее не исследовать систему; только любопытство может подвигнуть нас на продолжение!
2) Вычислим определители:
=0 → видим: невозможно. Вычислять ,, нет смысла!
Ответ: решений нет.
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
6.2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Метод Гаусса называют часто методом последовательного исключения неизвестных. Для реализации этого метода удобно оперировать не с исходной записью системы в виде (1), а с матрицей коэффициентов системы:
, (1)
её принято называть расширенной матрицей системы уравнений.
Метод Гаусса заключается в последовательном применении к строкам матрицы эквивалентных преобразований, приводящих эту матрицу к трапецоидальному или треугольному (в частном случае) виду. В результате реализации метода получим:
▫ система уравнений будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной;
▫ если система совместной, то она будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.
В основном метод применяют в тех случаях, когда не предполагается исследование технической системы: нужна лишь оценка (подтверждение) реакции системы на конкретные внешние воздействия.
Трудоемкость метода Гаусса оценивают трудоемкостью вычисления одного определителя -го порядка.
Рассмотренные ниже примеры решения систем уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют его возможности.
Примеры (и образец оформления):
Пример –1:Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
1
1
-6
-4
6
1
2
-3
0
3
3
-1
-6
-4
2
0
-7
3
-4
-7
2
3
9
2
6
=(1)→
0
-1
15
2
0
=(2)→
3
2
3
8
-7
0
1
3
4
-3
-
1
2
-3
0
3
1
2
-3
0
3
0
-3
3
0
-5
0
0
0
8
-12
0
-1
15
2
0
=(3)→
0
-1
15
2
0
=(4)→
0
0
6
2
-1
0
0
6
2
-1
Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R4] делим на 3; [R1]–[R4]; [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]·2. (2): [R2]+[R4]; [R2] делим на 2; [R4]+[R3]; [R4] делим на 3. (3): [R2]–[R3]·3; [R2]+[R3]·7. (4): получение результата.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.
3). Из уравнения [R2] следует:=; далее из уравнения [R2]: 6=, откуда вычисляем:x3= ;из уравнения [R3]: =, откуда вычисляем:= 2; из уравнения [R1]: =, откуда вычисляем:=0.
Ответ: (0, 2, , –).
Пример–2:Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
2
-1
1
-1
3
2
-1
1
-1
3
4
-2
-2
3
2
0
0
-4
-5
-4
2
-1
5
-6
1
=(1)→
0
0
4
-5
-2
=(2)→
2
-1
-3
4
5
0
0
-4
5
2
2 |
-1 |
1 |
-1 |
3 |
|
|
0 |
0 |
-4 |
-5 |
-4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
=(3)→ | |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]+[R3]; [R3]–[R2]. (3): видим: [R3] – невозможна.
2). Получены результаты: - система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Пример–3:Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
9
-3
5
6
4
3
-1
2
2
-1
6
-2
3
4
5
=(1)→
3
-1
0
-10
13
=(2)→
3
-1
3
14
-8
0
0
1
12
-7
-
3
-1
2
2
-1
3
-1
2
2
-1
0
0
-1
-6
7
=(3)→
0
0
-1
0
7
=(4)→
0
0
0
6
0
0
0
0
6
0
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R2]–[R1]; делим строку [R2] на 2; [R3]+[R2]. (3): [R2]+[R3]; [R4]+[R2]. (4): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 3 → свободная неизвестная =.
3). Из уравнения [R3] следует:=0; далее из уравнения [R2]: =–7; раскрывая уравнение [R1], получаем: ==.
4). Получили общее решение заданной системы, записываем ответ.
Ответ: .
Замечание: любая промежуточная ошибка в цепочке вычислений может быть исправлена от места обнаруженной ошибки.
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
6.3. Найти общее решение и ФСР системы линейных однородных уравнений. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Общая схема решения произвольной системы линейных однородных уравнений:
A1*: Вычисляем ранг матрицы коэффициентов системы уравнений. Так как для однородной системы уравнений =, то всегда выполняется . Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть =. Это значит, что определён базовый минор M матрицы системы уравнений.
A2*: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.
A3*: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть. Учтём, что свободных неизвестных .
A4*: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A5*: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
A6*: Выбирая независимых частных решений, определяем вычисляемые неизвестных. Полученные таким образом векторы-решения могут быть приняты в качестве ФСР.
Замечание: выбор свободных неизвестных определяет тот, кто исследует заданную систему уравнений, используя или метод Гаусса, или теорему Кронекера-Капелли.
Примеры (и образец оформления):
Пример –1: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицу: =и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:
-
3
4
1
2
6
8
2
5
1
9
12
3
10
2
1
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
==4·–8·+12·=m1·(5)–h1·(4)+g1·(1)=4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание: параметры: m1, h1, g1 изменяются при переходе к минорам ,, числа:(5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
== m2·(5)–h2·(4)+g2·(1)= 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и:
далее применяем правило Крамера:
=1; = =; ==0.
6). Общее решение системы: ==; ==0; частное решение получим при значениях:=1,=–1, →=1,=0.
Ответ: общее решение:==; ==0; частное решение: (1,–1,1,0).
Замечание: этот пример иллюстрирует алгоритм вычисления общего и одного частного решений, после чего определение ФСР становится достаточно простым завершением решения системы линейных однородных уравнений.
Пример–2:Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
3
2
1
3
5
3
2
1
3
5
6
4
3
5
7
0
0
1
-1
-3
9
6
5
7
9
=(1)→
0
0
2
-2
-6
=(2)→
3
2
0
4
8
0
0
-1
1
3
-
3
2
1
3
5
3
2
2
2
2
0
0
1
-1
-3
0
0
1
-1
-3
0
0
0
0
0
=(3)→
0
0
0
0
0
=(4)→
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем,,.Раскрываемтаблицу:
3) Применяем правило Крамера:
= 4;==; ==.
4). Общее решение системы: x4=; x5=.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
-
x1
x2
x3
x4
x5
α1
4
0
0
9
-3
α2
0
4
0
6
-2
α3
0
0
4
8
-4
Векторы-решения ,,линейно независимы, их количество=3. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
Ответ: общее решение: x4=; x5=;
ФСР: = (4, 0, 0, 9,–3) ; = (0, 4, 0, 6, –2) ; = (0, 0, 4, 8, –4).
Пример–3:Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
6
-2
2
5
7
6
-2
2
5
7
9
-3
4
8
9
3
-1
2
3
2
6
-2
6
7
1
=(1)→
0
0
2
1
-3
=(2)→
3
-1
4
4
-1
0
0
2
1
-3
-
3
-1
0
2
5
3
-1
0
2
5
0
0
2
1
-3
0
0
2
1
-3
0
0
2
1
-3
=(3)→
0
0
0
0
0
=(4)→
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Выполнены операции: (1): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; делим [R3] на число 2; [R4]–[R2]. (2): [R1]–[R2]; [R4]–[R3]; [R2]–[R1];. (3): [R3]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем,,.
3). Раскрывая таблицу, из уравнения [R2] вычисляем:=; из уравнения [R1] вычисляем: =. Получено общее решение: как и в случае неоднородной системы уравнений.
4). Построим ФСР, избегая дробей в записи решений ФСР:
-
x1
x3
x2
x4
x5
α1
2
0
6
0
0
α2
-4
-3
0
6
0
α3
-10
9
0
0
6
Векторы-решения ,,линейно независимы, их количество=2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
5). Используя ФСР, запишем общее решение:=++. Такая запись общего решения невозможна для неоднородной системы!
Ответ: общее решение: =;=; или: =++.
ФСР: = (2, 0, 6, 0,0) ; = (–4,–3, 0,6 ,0); = (–10,9, 0, 0,6).
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
6.4. Решить систему неоднородных линейных уравнений, записав его общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.
Общие сведения и расчётные формулы:для выполнения задания достаточно следовать алгоритму решения, представленному в примере.
Пример–1:Решить систему уравнений: записав общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.
Решение:
1). Полное исследование системы позволяют провести как метод Гаусса, так и алгоритм в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли. Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
12 |
14 |
-15 |
23 |
27 |
5 |
|
|
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
|
16 |
18 |
-22 |
29 |
37 |
8 |
|
|
0 |
2 |
-30 |
5 |
5 |
0 |
|
18 |
20 |
-21 |
32 |
41 |
9 |
=(1)→ |
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
=(2)→ | |
10 |
12 |
-16 |
20 |
23 |
4 |
|
|
0 |
2 |
-21 |
5 |
3 |
-1 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
|
|
0 |
2 |
-30 |
5 |
5 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(3)→ | |
0 |
0 |
9 |
0 |
-2 |
-1 |
|
|
Выполнены операции: (1): [R1]–[R4]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·8; [R4]–[R1]·5. (2): [R3]–[R1]; [R4]–[R2]. (3): обрабатываем результаты.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 3; свободные неизвестные: и:
- раскрываем строки преобразованной системы:
из уравнения [R4]: =; из уравнения[R2], с учётом найденного значения неизвестной : =; из уравнения[R1], с учётом найденных значения неизвестных и : =.
3). Частное решение системы найдём при условии, что свободным неизвестным присвоили значения =1,=1=; =; =, обозначим его: =.
4). Общее решение присоединённой однородной системы: =; =; =. Построим ФСР (фундаментальную систему решений):
-
x1
x2
x3
x4
x5
α1
2
-5
0
2
0
α2
-53
15
4
0
18
Векторы-решения , линейно независимы, их количество=2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
5). Общее решение системы: =+=++.
Ответ: общее решение: =++.
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|