§ 5. Матрицы.
5.1. Найти обратную матрицу.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Пусть задана невырожденная квадратная матрица , и необходимо найти обратную ей матрицу. Общий алгоритм вычислений обратной матрицы определяется соответствием:
→==·,
где – алгебраическое дополнение к элементуматрицы.
Вычисление обратной матрицы может проводиться двумя способами, каждый из которых по-разному проявляется в применении к конкретной матрице.
Способ-1. Используя выражение (4), выполняют действия:
1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d = ||.
2) Если d =0, то поиск матрицы прекращается.
3) Если d ≠0, то матрица для заданной матрицы существует. Поиск матрицы продолжается.
4) Вычисляем матрицу , затем обратную матрицу =.
Способ-2. Используется связка двух матриц . К этой связке применяют элементарные преобразования с целью получить запись этой связки в виде: .
В качестве элементарных преобразований в этом случае принимаем такие преобразования:
▫ умножение строки связки матриц на число;
▫ прибавление к некоторой строке связки матриц другой строки, умноженной на число.
Примеры (и образец оформления):
Пример–1: Найти обратную матрицу для матрицы: .
Решение:
Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:
1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d =(1)= =(2)=1· –1.
Выполнены операции: (1): [R2]–[R3]; [R1]–[R2]. (2): применяем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.
2) Так как d ≠0, то матрица для заданной матрицы существует. Поиск матрицы продолжается.
3) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .
При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения , соответствующего элементу , будем выделять соответствующий минор при помощи полосок картона, закрывая элемент горизонтальной и вертикальной полосками. Это позволит видеть любой выделяемый минор и легко записывать для дальнейшего использования! Указанные действия рекомендуется выполнять на черновике!
*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= –1; |
|
1 |
|
|
|
|
= 38; |
|
1 |
|
|
|
|
=–27, |
| |||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
2 |
6 |
|
4 |
|
|
2 |
6 |
3 |
|
|
| ||||||||||||
|
|
-2 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:
== –1;= = 38;== –27;
*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
= 1; |
|
|
2 |
|
7 |
|
= –41; |
|
|
2 |
5 |
|
|
= 29, |
| |||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
| ||||||||||||
|
|
-2 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:
== 1;= = –41;== 29;
*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
= –1; |
|
|
2 |
|
7 |
|
= 34; |
|
|
2 |
5 |
|
|
= –24; |
| |||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
6 |
3 |
|
|
| ||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:
== –1;= = 34;== –24;
4). Учитывая результаты вычислений, можем записать: =·.
Способ-2. Записываем связку двух матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .
1). Выполним операции: (1): [R2] –[R3]; [R1] –[R2]: имеем =.
2). Выполним операции: (2): [R2] –[R1]; [R3] –[R1] ·5. (3): [R2]+[R3]·2. Имеем:
=(2)→ =(3) → =.
3). Выполним операции: (4): [R2]+[R3]. (5): [R3]·( –1), где R – строка. Имеем:
=(4) → =(5) →.
4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.
Замечание: часто сравнивают применение Способа-1 и Способа-2 по трудоёмкости вычисления матрицы, после чего отдают предпочтение одному из них; сравнивают также по степени защищённости указанных способов от вычислительных ошибок; на самом деле оба способа играют важную роль в обучении предмету!
Ответ: = .
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
5.2. Найти ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) приведением к ступенчатому виду.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Максимальное число линейно независимых столбцов (строк) матрицы (то есть число столбцов (строк), входящих в любую подсистему линейно независимых столбцов (строк)), называетсярангом этойматрицы; обозначение –. Мы применяем два способа вычисления ранга матрицы.
Способ-1. Метод окаймляющих миноров.
Получено правило вычисления ранга матрицы:
– при вычислении ранга матрицы переходят от миноров меньших порядков, к минорам больших порядков;
– если уже найден минор -го порядка не равный нулю, то следует переходить к окаймлению его минором (+1)-го порядка;
– если все окаймляющие миноры (+1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен числу .
Способ-2. Приведение к ступенчатому (диагональному) виду применением элементарных преобразований (не меняют ранга!):
– транспозиция двух строк или столбцов;
– умножение строки (столбца) на число, не равное нулю;
– прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
– после получения диагональной формы матрицы число единиц на главной диагонали определяет ранг матрицы.
Замечания: 1) правило приведения матрицы к диагональному виду применяют обычно в тех случаях, когда требуется только определить ранг матрицы: следить за всеми перестановками строк и столбцов неудобно;
2) если столбцы не переставлять (за одними строками следить не так сложно!), а единицы на главной диагонали получать способом уравнивания коэффициентов, то метод вполне удобен для выделения в системе векторов-строк максимальной линейно независимой подсистемы векторов.
Замечание: при выполнении задания каждый применяет оба из указанных способов.
Примеры (и образец оформления):
Пример–1:Найти ранг матрицы: методом окаймляющих миноров.
Решение:
1). Так как в матрице есть элементы не равные нулю, то ранг матрицы . Окаймление любого из них приводит к минору 2-го порядка.
2). Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу:
-
4
3
-5
2
3
8
6
-7
4
2
1
4
3
-8
2
7
2
4
3
1
2
-5
3
8
6
-1
4
-6
3
2
1
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
==(–5)–(–7)+(–8)=m1·(24)–h1·(8)+g1·(–8)= (–5)·(24)–(–7)·(8)+(–8)·(–8)=0;
Замечание: параметры: m1, h1, g1 изменяются при переходе к минорам ,числа:(7), (–14), (–7) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
== m2·(24)–h2·(8)+g2·(–8)= 3·(24)–6·(8)+3·(–8)=0;
== m3·(24)–h3·(8)+g3·(–8)= 4·(24)–8·(8)+4·(–8)=0;
==(–5)–(–7)+=m1·(–24)–h1·(–16)+g1·(–8)=(–5)·(–24)–(–7)·(–16)+1·(–8)=0;
Замечание: параметры: m1, h1, g1 изменяются при переходе к минорам , числа: (–24), (–16), (–8) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
== m2·(–24)–h2·(–16)+g2·(–8)=3·(–24)–6·(–16)+3·(–8)=0.
== m3·(–24)–h3·(–16)+g3·(–8)=4·(–24)–8·(–16)+4·(–8)=0.
==(–5)–(–7)+(–1)=m1·(–32)–h1·(–24)+g1·(–8)=
=(–5)·(–32)–(–7)·(–24)+(–1)·(–8)=0;
Замечание: параметры: m1, h1, g1 изменяются при переходе к минорам , числа: (–28), (–24), (–8) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
== m2·(–32)–h2·(–24)+g2·(–8)= 3·(–32)–6·(–24)+6·(–8)=0.
== m3·(–32)–h3·(–24)+g3·(–8)= 4·(–32)–8·(–24)+8·(–8)=0.
4). Так как все окаймляющие миноры 3-го порядка равны нулю, то .
Ответ:= 2.
Пример–2:Найти ранг матрицы: =элементарными преобразованиями.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
=(1)→ =(2)→ =(3) →.
Операции: (1): [C5]+[C2]–[C4]; [C4]+[C1]+[C2]; [C3]–[C1]+[C2] . (2): [C1]–[C2]·3. 3): делим [R5] на 13 и при помощи числа 1 обнуляем элементы [C2]; делим [R4] на 67 и при помощи числа 1 обнуляем элементы [C1].
2). Видим(!): ранг матрицы равен 2.
Ответ: = 2.
Пример–3:Найти ранг матрицы: двумя способами: методом окаймляющих миноров и применяя элементарные преобразования.
Решение:
Способ-1. Метод окаймляющих миноров.
1). Так как в матрице есть элементы не равные нулю, то ранг матрицы . Окаймление любого из них приводит к минору 2-го порядка.
2). Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу:
-
2
-3
3
2
-2
2
9
3
4
2
1
3
-3
-1
2
2
2
3
-3
3
-1
-5
3
2
1
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
==3·–3·+(–1)·=m1·(4)–h1·(8)+g1·(12)=3·(4)–3·(8)+(–1)·(12)0;
Это значит, что и необходимо вычислить окаймляющие миноры 4-го порядка:
-
2
-3
3
2
-2
2
9
3
4
2
3
-3
-1
2
2
1
3
-3
3
-1
-5
2
1
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
==(–3)·–9·+(–3)·–(–3)·,
или: = m1·(12)–h1·(32)+g1·(6) –q1·(–24)= (–3)·(12)–9·(32)+ (–3)·(6) –(–3)·(–24)0.
4). Так как минор 4-го порядка не равен нулю, то .
Ответ: .
Способ-2. Приведение к ступенчатому (диагональному) виду применением элементарных преобразований (не меняют ранга!):
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
=(1)→=(2)→=(3)→.
Операции: (1): [R1]+[R2]–[R3]; [R4] –[R3]; [R3]–[R2] –[R1] . (2): [R3]–[R2]·2; [R2]–[R3]·3; разделим [R2] на 22 и поменяем местами [R2] и [R3]. 3): [R4]–[R3]·4.
2). Видим(!): ранг матрицы равен 4.
Ответ: .
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
16. |
|
2. |
|
17. |
|
3. |
|
18. |
|
4. |
|
19. |
|
5. |
|
20. |
|
6. |
|
21. |
|
7. |
|
22. |
|
8. |
|
23. |
|
9. |
|
24. |
|
10. |
|
25. |
|
11. |
|
26. |
|
12. |
|
27. |
|
13. |
|
28. |
|
14. |
|
29. |
|
15. |
|
30. |
|