§ 4. Определители.
4.1. Вычислить определители: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.
Общие сведения и расчётные формулы:по представленному заданию.
Заметим, прежде всего, что выполнение обоих заданий требует знания всех свойств определителя и применения их при вычислении конкретных определителей. Но применение этих свойств должно учитывать их группировки:
▫ свойства, определяющие равенство определителя нулю;
▫ свойства, определяющие эквивалентные преобразования определителя: не изменяющие его величины.
Учёт этих группировок позволяет сделать планирование и выполнение преобразований целесообразными и осознанными.
Геометрически задания а) и б) следует воспринимать так: любой заданный или преобразуемый определитель необходимо привести к форме:
● |
● |
● |
● |
● |
● |
|
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
|
○ |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
или |
○ |
○ |
● |
● |
● |
● |
○ |
○ |
○ |
☺ |
○ |
○ |
|
○ |
○ |
○ |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
|
○ |
○ |
○ |
○ |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
● |
|
○ |
○ |
○ |
○ |
○ |
● |
где символ [○] отмечает, что в выделенной ячейке находится ноль. Символ [☺] отмечает элемент строки, не равный нулю, который реализует разложение определителя по строке.
Замечание: если определитель подготавливается для его разложения по столбцу, то нулями заполняется столбец.
Примеры (и образец оформления):
Пример-1.Пусть задан определитель:разложением по строке (столбцу).
Решение:
Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:
d=(1)=·=(2)==(3)=
=–·=(4)=·=(5)=.
Операции: (1): выносим за знак определителя общие множители из столбцов: 1,2,3,4. (2): выполняем: [C1]–[C3]. (3): выполняем разложение по столбцу-1. (4): [C1]–[C2]·2. (5): выполняем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.
Ответ:d=.
Замечание: этот пример иллюстрирует пользу вынесения общих множителей, обнаруживаемых в строке или столбце, для выбора наиболее рациональных направлений преобразования определителя.
Пример-2: Вычислить определитель: приведением к треугольному виду.
Решение:
Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:
d= =(1)== (2)= 10.
Операции: (1): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (2): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление: произведение элементов главной диагонали.
Ответ:d=10.
Замечание: этот пример иллюстрирует возможности использования треугольного вида записи определителя.
Пример-3: Вычислить определитель: двумя способами: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.
Решение:
Способ-1. Применяем операции со строками и столбцами с целью понижения порядка определителя так, чтобы максимально уменьшить вычислительные трудности и угрозу ошибок.
1. Уменьшим элементы определителя, применяя сложение и вычитание строк и столбцов, затем приводим определитель к виду, наиболее удобному для понижения порядка:
d=(1)= =(2)==(3)=(–2) =2·.
Операции: (1): [C4]–[C1]; [C1]–[C2]. (2): [C3]–[C1]; [R3]+[R4]. (3): так как определитель в столбце [C3] содержит только один элемент не равный нулю, применяем разложение определителя по этому столбцу: понижение порядка вычисляемого определителя.
2. Продолжим действия, аналогичные тем, что представлены в пункте-1:
d=2·=(1)=2·=(2)=2·1··=(3)= –2·25=–50.
Операции: (1): [R1]–[R2]; [R3]+[R2]. (2): так как определитель в столбце [C1] содержит только один элемент не равный нулю, применяем разложение определителя по этому столбцу. (3): легко получаем значение определителя.
Ответ:d=–50.
Способ-2. Применяем операции со строками и столбцами с целью получения определителя треугольного вида.
1. Добиваемся получения нулей под главной диагональю:
d=(1)= =(2)= =(3)= =(4)=.
Операции: (1): [C1]–[C2]. (2): [R2]–[R1]; [R3]+[R1]. (3): [R3]+[R2]·2; [R2]+[R4]·2. (4): [R4]+[R2]; [R4]+[R3]·3: получен определитель треугольного вида, вычисление которого не представляет труда.
2. Записываем значение определителя: d =–50.
Ответ:d=–50.
Замечание: при вычислении конкретных определителей число шагов, приводящих к понижению порядка определителя, может быть различным: важно всешаги документировать!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
Вар. |
Задание: |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|