Высшая математика

11. РЯДЫ

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х=1 имеем ряд 1− 12 + 13 − 14 +K+(−1)n−1 1n +K, он сходится по теореме Лейб-

ница.

При х=-1 имеем ряд −1− 12 − 13 − 14 −K− 1n −K, который расходится как произведе-

ние расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал (-1; 1].

40 Найти область сходимости степенного ряда

Исследуем сходимость ряда при значениях х= ±3. Подставив их в в данный ряд, соответственно получим 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 + ... ;

261

11. РЯДЫ

1 – 1 + 1 – ... + (-1)n + ... . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при n→∞). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости (-3; 3).

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы (9.7) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера, Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ∞). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.

Пример.

Найти сумму степенного ряда

1 – х + х2 – ... + (-1)n xn + ... .

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q= - x. Следовательно, его сумма есть функция S(x) = 1 +1 x . Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому

1 + x =1 − x + x2 −... +(−1)n xn +...

справедливо лишь для значений х (-1; 1), хотя функция S(x) = 1 +1 x определена для всех

значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

262

11. РЯДЫ

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же

радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ...

, S(n)(x).

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если х (-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

11.3.2. Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. пред-

Задача состоит в определении коэффициентов an (n=0, 1, 2, ...) ряда (11.1). Для этого

Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.

Примеры.

1. Разложить в ряд Маклорена функцию ех.

Найдем производные (ех)(n) = ex, поэтому при х=0 имеем f(0) = f`(0) = ... = f(n)(0) = ... = 1. Подставляя эти значения в формулу (11.3), получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой, и R=∞. 2. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin x.

f(x) = sin x, f`(x) = cos x, f``(x) = – sin x, f```(x) = -cos x, fIV(x) = sin x.

263

11. РЯДЫ

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при х=0:

f(0)=0, f`(0)=1, f``(0)=0, f```(0)= -1, fIV(0)=0, ... .

Поэтому ряд Маклорена для функции f(x) = sin x имеет вид

Можно доказать, что ряды (11.5) и (11.6) сходятся на всей числовой прямой.

264

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

12. Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется выраже-

известную, а следовательно искомую функцию y=y(x) под знаком производной или дифференциала n-го порядка и других порядков k<n.

Пример. y'=f(x,y), dydx =f(x,y) .

Исходя из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нем.

Степенью дифференциального уравнения называется степень старшей производной, содержащейся в нем.

Пример. (y''')2+(y')3=x4 - это дифференциальное уравнение третьего порядка, второй степени.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция, которая будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество.

Процедура отыскания решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах.

Пример. Уравнение y'+y2=xα интегрируется при α=-4n(2n-1), где n-целое и α=-2, во всех остальных случаях не интегрируется.

12.1. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений

Пусть y=y(x) есть решение уравнения y'=f(x,y). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой y=y(x) имеет в каждой, лежащей на ней, точке М(x,y) угловой коэффициент k=f(x,y). Таким

yобразом, нахождение решений y=y(x) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области

глядеть графики решений - интегральные кривые. Вычисление показывает, что решение

265

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

данного уравнения есть уравнение y=с−1x . На рис. 1 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра с=0 и с=1.

12.2. Общий и частный интегралы. Общее и частное решения

Рассмотрим некоторую функцию y=ϕ(х,с), где с есть некоторый параметр или произвольная постоянная. Найдем дифференциальное уравнение, которому эта функция удовлетворяет. С этой целью возьмем производную от функции y, получим

y'=ϕ'(х,с).

Если в этой операции будет исключено с, т.е. получается y'=λ(x),

то это и будет дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, а y=ϕ(х,с) является его решением. Очевидно, в этом случае зависимость y от с линейна, т.е.

y=ϕ(х)+c.

Но допустим, что в ϕ'(х,с) содержится с. Тогда выражение y'=ϕ'(х,с) нельзя назвать дифференциальным уравнением (ввиду неопределенности с) до тех пор, пока из выражения y'=ϕ'(х,с) не исключим с.

Для этого разрешим уравнение y=ϕ(х,с) относительно с: с=ψ(х,с). Это возможно, если функция ϕ(х,с) имеет отличную от нуля производную по с (по теореме о существовании обратной функции), т.е.

ϕ′с(x,y)=∂ϕ∂c ≠0 .

Пусть это условие выполнено. Тогда, подставив с=ψ(х,с) в выражение y'=ϕ'(х,с), получим y'=ϕ'(х,ψ(х,с)) - искомое дифференциальное уравнение, решением которого будет y=ϕ(х,с). Итак, функция, зависящая от одной произвольной постоянной y=ϕ(х,с), тогда является общим решением дифференциального уравнения, когда выполнено условие:

∂ϕ∂c ≠0 . Слово "общее" означает, что все частные функции, удовлетворяющие уравнению

y'=ϕ'(х,ψ(х,с)) могут быть получены из функции y=ϕ(х,с) приданием с определенных значений.

Пусть дана неявная функция одной переменной ψ(х,y,с)=0, содержащая одну произвольную постоянную. Найдем дифференциальное уравнение, для которого эта неявная функция будет решением. Для этого продифференцируем ψ(х,y,с)=0. Получим ψ′x(x,y,c)+ y′ψ′y(x,y,c)=0 . Разрешая ψ(х,y,с)=0 относительно с=λ(x,y) и подставляя его в

уравнение ψ′x(x,y,c)+ y′ψ′y(x,y,c)=0 , получим искомое дифференциальное уравнение

ψ′x(x,y,λ(x,y))+ y′ψ′y(x,y,λ(x,y))=0

Решение дифференциального уравнения первого порядка, записанное в виде ψ(х,y,с)=0, зависящее от произвольной постоянной, является общим интегралом. Рассмотрим теперь неявную функцию от одной переменной и n произвольных постоянных

ψ(х,y,с1,с2, ... ,сn)=0 (*)

266

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Получим дифференциальное уравнение, для которого эта функция будет решением. Допустим, что ψ(х,y,с1,с2, ... ,сn) имеет производные по переменным x и y, n-гопорядка. Дифференцируяψ(х,y,с1,с2, ... ,сn)=0 n раз, получим

Рассмотрим совместно выражения (*) и (**). Объявим в этих выражениях неизвестными с1,с2, ... ,сn. Тогда (*) и (**) составляют систему n+1 уравнений, из которых можно исключить n произвольных постоянных. В результате получим уравнение n-го порядка

F(х,y,y',y'', ... ,y(n))=0.

Выражение (*) является общим интегралом этого уравнения. Функция (*) называется общим интегралом уравнения тогда, когда после n-кратного дифференцирования образуется система конечных уравнений (*) и (**), допускающая существование единственного решения для постоянных с1,с2, ... ,сn. Если (*) можно разрешить относительно y=ϕ(х,с1,с2, ... ,сn), то получим общее решение уравнения.

Частным интегралом или частным решением дифференциального уравнения называется общий интеграл или общее решение, для которых указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для определения произвольных постоянных необходимо задать столько условий, сколько постоянных. Эти условия включают задание значений функции и ее производных в определенной точке. Так для уравнения n-го порядка необходимо задать

Числа x0,y0, y0′, ... , y(n-1) называются начальными значениями, эти равенства - начальными условиями.

12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка

Если дифференциальное уравнение разрешить относительно его старшей производной, то полученное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной. Рассмотрим уравнение первого порядка y'=f(x,y). (1.1)

267

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области D вместе со своей частной производной по неизвестной функции y, ∂∂yf , то для всякой точки М(x0,y0),

принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=ϕ(x) уравнения(1), удовлетворяющее начальному условию

y x= xo = y0 = ϕ(x0) .

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.

Сформулируем теперь теорему для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной

... ,y(n-1) определена и непрерывна в некоторой (n+1)-мерной открытой области D вместе со

Условия, накладываемые в теоремах на правые части уравнений (1.1) и (1.2), достаточны как для существования, так и для единственности решений уравнений. Для существования решения достаточно потребовать ограниченности производных fy′, fy′′, ... , fy′(n −1) в открытой области D. Теоремы примем без доказательств.

12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка

где неизвестной является функция y(x) (либо x(y)), а известной является функция f(x,y) (либо q(x,y)). Учитывая, чтоy′=dydx , а x′=dxdy , и полагая возможным представить f(x,y) или q(x,y) в виде - Q(x,y)P(x,y) , уравнение (2.1) можно записать в симметричной форме

Если в этом уравнении P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде P(x,y)=N(x)R(y) и Q(x,y)=M(x)K(y), то уравнение (2.2) записывается как

268

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Ме-

тод его решения: разделив (2.3) на произведение M(x)K(y), получим

Уравнение (2.4) называется уравнением с разделенными переменными. Опера-

ция деления уравнения (2.3) на произведение М(х)R(y) называется разделением переменных. Интегрируя (2.4), получим общий интеграл

∫MN(x)(x)dx+∫KR (y)(y)dy=c

исходного уравнения. При делении (2.3) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения

М(х)R(y)=0.

Определяя из этого уравнения решение y=ϕ(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (2.3). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.

Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0.

Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим:

Интегрируя, получим общий интеграл

x+ln|x|+y+ln|y|=c;

ln|xy|+x+y=c.

В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0 являются решениями исходного уравнения, но не входят в общий интеграл. Следовательно, решения x=0, y=0 являются особыми.

12.5. Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t≥0 выполняется равенство

f(tx,ty)=tmf(x,y).

Если функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и той же степени m, то дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется однородным. Оно приводится к

вольная постоянная.

269

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример. (x2+y2)dx+xydy=0. Данное уравнение является однородным, так как функции M(x,y)= x2+y2, N(x,y)=xy однородные степени m=2. Сделаем замену y=ux, dy=udx+xdu. Тогда уравнение перепишется так: (x2+u2x2)dx+x2u(udx+xdu)=0 или (1+2u2)dx+uxdu=0.

Разделяя переменные, получим

Его можно решить подстановкой. Тогда

f(u)=A+Bu2, n=-2+1=-1.

Полученное уравнение есть частный случай уравнения Рикатти y'= By2+R(x),

которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при R(x)=Ax-2 уравнение Рикатти решается в квадратурах. Отметим, что при

270