Высшая математика

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

y

-4 -6

-8

Рис.4

5.15.6. Точки перегиба графика функции

Предположим, что график функции y=f(x) имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов (а,с) и (с,b), где числа а,b,c связаны неравенствами a<c<b. Предположим, что к графику функции y=f(x) в точке М(с,f(c)) cуществует касательная не параллельная оси OY, тогда точка М(с,f(c)) графика функции y=f(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки С оси абсцисс, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки С имеет разные направления выпуклости (см.рис.1)

Рис.1

Замечание1. Равенство нулю второй производной не является достаточным условием перегиба. Например, для функции y=x4 в точке (0,0) нет перегиба, однако y′′(0) =12x2 x=0 = 0 . (см. рис. 2)

Замечание 2. Все точки перегиба дважды непрерывно

yдифференцируемой функции находятся среди точек, для которых вторая производная равна нулю.

0 x

Рис. 2

5.15.7. Теоремы о достаточных условиях перегиба графика функции

Теорема 1. (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x)

1) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки С;

141

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2) f ′′(с) = 0, тогда, если существует окрестность, в пределах которой вторая производная f ′′(x) имеет разные знаки слева и справа от точки C, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с,f(с)).

Замечание 1. Сформулируем обобщение теоремы 1. При определении точки перегиба будем считать, что касательная к графику функции в рассматриваемой точке может

быть параллельной оси 0y (т.е.f ′(с) = ±∞).

Пусть функция f(x): 1) имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С; 2) функция f(x) непрерывна в точке С; 3) график функции имеет касательную в точке М(с,f(с)) (может быть и параллельно оси 0y). Тогда, если существует окрестность точки С, в пределах которой

f ′′(x) имеет разные знаки слева и справа от точки С, то график функции y=f(x) имеет пе-

C x C x

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

Отсюда следует, что точка (0,0) является точкой перегиба; слева от этой точки график функции имеет выпуклость вниз, а справа вверх.

5.15.8. Асимптоты графика функции

или −∞.

142

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рис. 1

Определение 2. Пусть функция y=f(x) определена для всех x>a (x<a). Прямая

Y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х→ + ∞ (х→ − ∞), если функция f(x) представима в виде

но малая функция при х→ + ∞.

Замечание. Расположение графика относительно асимптоты при больших х определяется знаком разности ∆=f(x)−kx−b

При х→ − ∞ аналогично

143

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Расположение графика относительно вертикальных и наклонных асимптот позволяет проверить исследование функции на экстремум, а также на направление выпуклости графика.

5.15.9. Примеры построения графиков функций

Будем проводить построение графиков функций, последовательно отвечая на вопросы, сформулированные ниже.

1. Построить график функции y = x2 (x −4)2

1.Область определения: −∞ < х < +∞;

2.Периодичность: функция не периодическая;

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку f(x)≠ f(-x) и f(x)≠ -f(- x);

4. Точки пересечения с осями ОХ и OY.

5.Непрерывность: функция непрерывна х (−∞,+∞);

6.Асимптоты: функция не имеет ни вертикальных, ни наклонных асимптот;

7.Участки монотонности функции, нахождения экстремума.

y′(x) = 2x(x −4)2 +2x2 (x −4) = 2x(x −4)(x + x −4) = 4x(x −4)(x −2)

Стационарные точки функции: х1=0, х2=2, х3=4. Составим таблицу

Здесь и означают убывание и возрастание функции на соответствующих промежутках.

Примерный график функции представлен на рис.1.

144

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Окончательный график функции представлен на рис. 2.

y

4

9

0 x2 2 x1 x

Рис. 2

3.Построить график функции y = x3 + x2 −3x +1

x2 −1

1.Область определения: х≠±1.

2.Четность: функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Периодичность: функция не является периодической.

4.Точки пересечения с осями координат: x3 + x2 −3x +1 = 0

x1 =1, x2 = −1− 2, x3 = −1+ 2

Так как х≠ 1, то точки пересечения

145

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ