Высшая математика

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Евразийский открытый институт

А.Н. Малахов, Н.И. Максюков, В.А. Никишкин

Высшая математика

Учебно-методический комплекс

Москва 2008

УДК – 517 ББК – 22.11 В – 937

Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:

Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 315 с.

В пособии представлены основные разделы математики, необходимые для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий.

Пособие предназначено для студентов и слушателей, обучающихся на всех формах обучения с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для преподавателей высших и средних специальных учебных заведений.

Авторы: Малахов Александр Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

Максюков Николай Иванович,

доцент

Никишкин Валерий Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Издание 3-е Выпуск 5-й

2

3

4

Учебное пособие

5

Введение

Знания, приобретаемые студентом в результате изучения математики, играют важнейшую роль в процессе его обучения в институте. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, менеджмента, статистики, бизнеса и информационных технологий. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач техники, экономики и финансов, планирования и прогнозирования, анализа финансовой и экономической деятельности. Поэтому студент не должен забывать, что и после окончания вуза он не раз столкнется с необходимостью применения математики в практической деятельности.

Учебные планы инженерно-экономических, экономических специальностей, специальностей в области статистики, менеджмента, бизнеса, информационных технологий и юриспруденции предусматривают изучение курса «Высшая математика».

Объем и содержание этого курса определяются программами, утвержденными Учебно-методическим управлением министерства общего и профессионального образования Российской Федерации и не зависит от формы обучения (дневное, вечернее, заочное, дистанционное).

Данное учебное пособие соответствует учебной программе по курсу высшей математики.

При написании данного пособия была использована следующая литература:

1.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1987 г.

2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Тт. 1–2. – М.: Наука,

1979 г.

3.Овчинников П.Ф. и др. Высшая математика К.: Высшая школа, 1989 г.

4.Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Введение в математический анализ. – М.:

МЭСИ, 1983 г.

5.Коровин Ю.В., Никишкин В.А. Методические указания по изучению курса «Высшая математика».

6.Малахов А.Н. Высшая математика. – М.: МЭСИ, 1997 г.

6

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.Векторная алгебра

1.1.Понятие вектора и линейные операции над векторами

1.1.1. Понятие вектора

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом AB , где точки

A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом a .

B

a

A

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать

символом модуля: AB или a .

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

a

b

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

a

b

a b

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

1.1.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

7

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

a b

a+b

Это правило называют “правилом треугольника”.

Свойства сложения векторов:

1. a + b = b + a

Из определения 1 и ∆OAC следует, что OC = a + b , а из ∆OBC следует, что OC = b + a , ч.т.д.

Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a + b ( b + a ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b .

2. (a + b)+ c = a + (b + c)

Доказательство. Приложим вектор a к произвольной точке 0, вектор b к концу

вектора a и вектор c к концу вектора b .

(a + b) + c = a + (b + c)

Обозначим буквами A, B, C концы векторов a , b и c , тогда

(a + b) + c = (OA + AB) + BC = OB + BC = OC

a+ (b + c) = OA + (AB + BC) = OA + AC = OC , ч.т.д.

3.Существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a . Это свойство вытекает из определения 1.

8

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор - a такой, что a +(−a) = 0 .

Для доказательства этого свойства определим вектор - a , противоположный векто-

ру a , как вектор, коллинеарный вектору a , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.

Взятая по определению 1 сумма вектора a с таким вектором - a дает нулевой вектор.

Определение 2. Разностью a −b вектора a и вектора b называется такой вектор

c , который в сумме с вектором b дает вектор a .

Из определения 2 и из правила треугольника (определение 1) сложения векторов вытекает правило построения разности a −b : разность a −b приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b в

конец уменьшаемого вектора a .

a a −b

0

b

Определение 3. Произведением α a (a α) вектора a на вещественное число α называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину α a , и имеющий направ-

ление, совпадающее с направлением вектора a в случае α>0 и противоположное направ-

лению вектора a в случае α<0.

Свойства операции умножения вектора на число: 5. α(a + b) = αa +αb

αa

α(a + b)

a a + b

0

При “растяжении” сторон параллелограмма в α раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в α раз, т.е.

αа +αb = α(а + b )

6.(α+β)а = αа +βа .

7.α(βа) = (αβ)а .

Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.

9

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1.3.Понятие линейной зависимости векторов

Линейной комбинацией n векторов a1, a 2 , ..., a n будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа:

где α1,α2,... αn- любые вещественные числа.

Определение 1. Векторы a1, a 2 , ..., a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α1,α2,...,αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

Приведем другое определение линейно независимых векторов.

Определение 2. Векторы a1 ,a2 ,...,an называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда числа

α1=α2=,...,=αn=0

Из определений 1 и 2 следуют два утверждения:

1. Если хотя бы один из векторов a1, a 2 , ..., a n является нулевым, то эти векторы явля-

ются линейно зависимыми.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

1.1.4. Линейные комбинации двух векторов

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство.

1). Необходимость. Пусть векторы a и b линейно зависимы. Докажем их коллинеарность.

По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α и β, хотя бы одно из которых не равно нулю, что справедливо равенство

αa +βb = 0

Пусть β≠0. Тогда b = − αβ a .

Обозначив λ = − αβ ; получим b = λa .

Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть векторы a и b коллинеарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если хотя бы один из них нулевой, то a и b линейно зависимы.

10