41_1_Econometrics_Polyansky__Part_1

Дисперсию индивидуальных значений s 2yˆ o

вычислим в ячейке

F23,

запрограммировав

её формулу

«=D23*(1+1/B14+(B23-

C12)^2/M13)».

t-критерий Стьюдента t1−α;n−2 определим по таблице 2 приложения

для γ = 1 −α = 95%

и n − 2 = 10 − 2 = 8

степеней свободы: t 0 ,95 ;8

=2 ,31 и

впишем вручную в ячейки C24 и D24.

Минимальное

( ymin ) и максимальное ( ymax ) значения спроса вы-

числим

в

ячейках

E24:F25,

введя

формулы

«=B24–

D24*КОРЕНЬ(F23)» и «=B24+D24*КОРЕНЬ(F23)» (обратите внима-

ние на то, что для расчетов нужна не дисперсия

s 2yˆ o ,

а среднее квадра-

тичное отклонение s yˆ o =

s 2yˆ o

).

35,269 ≤ yo*

≤65,935.

Т.е. у данного продавца, продающего товар по цене 18 руб., спрос

не опустится ниже

35,269

кг и не превысит

65,935 кг (с

95%-ной

надежностью). Результаты показаны на рис.1.22.

Полученный диапазон довольно широк, т.к. для одного продавца

возможны отдельные значительные отклонения практических резуль-

татов от предсказанных.

3) Определим, в каких пределах будет находиться средний спрос

у всех продавцов, установивших на товар цену 18

руб.

ния:

Доверительный интервал для условного математического ожида-

ˆ

−

t1−α;n−2 s yˆ

≤

M x ( y)

≤

ˆ +

t1−α;n−2 s yˆ ,

где

s 2yˆ = s 2 (

y

y

n +

∑n ( xi − x )2

) – оценка дисперсии групповых сред-

1

( xо

−

x

)2

них.

i =1

Как видно, формулы схожи с приведенными в предыдущем пунк-

те.

Воспользовавшись этим, не будем программировать вычисления

заново,

а скопируем формулу ячейки F23 (в строке формул)

в ячейку

H23,

а затем подправим: «=D23*(1/B14+(B23-C12)^2/M13)». Анало-

гично поступим с ячейками

G24:H25

для вывода минимального и мак-

симального значений

спроса.

В

H24

впишем

формулу

«=B24-

D24*КОРЕНЬ(H23)», а в H25 -

формулу

«=B24+D24*КОРЕНЬ(H23)».

Получится следующий диапазон:

ˆ

s

ˆ

s

b − t1−α;n−2

≤

b ≤

b + t1−α;n−2

.

∑n

∑n

( xi −

)2

( xi −

)2

x

x

i =1

i =1

n s 2

≤ σ 2 ≤

n s2

.

2

2

χα

; n−2

χ1−α

; n−2

2

2

Значения критерия Пирсона

χ2 определим по таблице 3 прило-

жения (отсутствующие в приведенной таблице значения можно полу-

чить приближённо аппроксимацией):

χα2

; n−2

= χ

02,025 ; 8

=17 ,53 ,

2

2

; n−2 =

2

χ1−α

χ0 ,975 ; 8 =2 ,18 .

2

22 ,645 ≤ σ2

≤

182 ,095 ,

4 ,759 ≤ σ

≤

13,494 .

Результаты показаны на рис.1.22.

Задача 1.4

ячейку С28. Вызовем ма-

стер функций, щелкнув на

кнопку

.

В

категории

«Статистические»

выбе-

рем

функцию

КОРРЕЛ

(рис.1.23).

В раскрыв-

шемся далее

окне

этой

функции

(рис.1.24)

зада-

дим

диапазоны ячеек

с

данными

«Массив

1»

–

«C2:C11» и

«Массив 2» –

«B2:B11» (вписать вруч-

ную или выделить мыш-

Рис. 1.23

кой нужный диапазон ячеек).

В ячейке

С28 получим результат r = − 0,928 (см. далее рис.1.27),

равный полученному ранее в задаче 1.1.

2)

Для нахождения коэффициентов регрессии воспользуемся

функцией ЛИНЕЙН из категории

«Статистические».

Вычисления

проведём

в

ячей-

ках

A29:D29.

Подпишем

ком-

ментарии и выде-

лим

ячейки

C29:D29

для вы-

Рис. 1.24

вода

результатов

расчета

b

и

a . В

окне

ˆ

ˆ

функции

(рис.1.25) зададим диапазоны исходных данных: в поле

«Изв_знач_y»

– « B2:B11»,

в поле «Изв_знач_x»– « C2:C11». Остальные поля

–

пустые.

Нажимать на кнопку «OK» надо при нажатых клавишах Ctrl+Shift. По-

лучившиеся значения (рис.1.27) b

1,630 и

a

79,949 полностью сов-

ˆ

= −

ˆ

=

падают с полученными ранее (в ячейках С15:D16).

!

Замечания.

• Если не выделить заранее две ячейки или не нажать Ctrl+Shift вместе с «OK»,

то выведется только один коэффициент b .

ˆ

• В качестве входного интервала (поле «Изв_знач_x») может быть не только одна

объясняемая переменная (один столбец данных), но и несколько (несколько соседних

столбцов) –

в случае множественной линейной регрессии (см. задачу 3.2).

• Графа «Константа» - логическая. При отсутствии в ней записи (или значении

ИСТИНА

расчеты производятся для ненулевого коэффициента

ˆ

«

»)

a . При значении

ЛОЖЬ

»

коэффициент

ˆ

ˆ

=

0 , т.е. искомая прямая обяза-

«

b рассчитывается для условии a

тельно пройдет через начало координат и не обязательно будет оптимальной.

• Графа «Стат» - тоже логическая. При отсутствии в ней записи (или значении

ЛОЖЬ

ˆ

ˆ

ИСТИНА

» - дополни-

«

») вычисляются только значения b

и a . При значении «

тельно рассчитываются некоторые другие регрессионные статистики

(см. далее).

Воспользуемся встроенной в функцию

ЛИНЕЙН возможностью

и покажем, как можно получить с её помощью другие дополнительные

регрессионные статистики (кроме коэффициентов регрессии). Для это-

го надо предварительно выделить место для вывода результатов вы-

числений.

Например, в данном случае – это матрица размером 5х2

–

ячейки

A33:B37. Можно выделить и большее количество столбцов,

в

лишних столбцах просто не будет результатов. Затем вызовем функ-

цию ЛИНЕЙН,

в которой укажем известные значения Y и X, а в графе

«Стат»

впишем слово «истина».

Ответ «OK» нажмём при нажатых

клавишах

Ctrl+Shift.

емые

Рассчитыва-

характери-

стики

в

матрице

вывода

результа-

тов ЛИНЕЙН

по-

казаны

в

таблице

1.1 для более об-

щего

случая мно-

Рис. 1.25

жественной

ре-

грессии

(см.

в

разделе

3)

y =b0

+b1 x1 +b2 x 2

+

. В данном случае

парной

регрессии

( p =1 )

столбцов

будет всего 2 (для

Рис. 1.26

b и a ).

Аналогичные вычисления можно выполнить функцией НАКЛОН

(коэффициента

b )

и ОТРЕЗОК ( a ) из категории «

».

ˆ

ˆ

Статистические

Порядок вычислений аналогичен функции ЛИНЕЙН и подробно рас-

сматриваться не будет. Результаты

- в ячейках A30:C31

на рис.1.27.

по известному x=18 можно функцией ПРЕДСКАЗ из категории «Ста-

тистические» (рис.1.26). Результат

(ячейки E28:H28) аналогичен по-

лученному ранее в A24:B24 (рис.1.27).

Таблица 1.1

Схема вывода результатов функции ЛИНЕЙН

Коэффициент

Коэффициент

Коэффициент

Свободный

регрессии ( bp )

регрессии ( bp−1 )

…

регрессии ( b1 )

коэффициент ( b0 )

Стандартная

Стандартная

Стандартная

Стандартная

ошибка ( sbp )

ошибка ( sb p−1 )

…

ошибка ( sb )

ошибка ( sb )

1

0

Коэффициент де-

Стандартная

ошибка для y

-

-

-

терминации ( R 2 )

s

Статистика

Число

Фишера-Снедекора

степеней свободы

-

-

-

F

df = n − p − 1

Регрессионная

Остаточная

сумма квадратов

сумма квадратов

-

-

-

QR = ∑n

( yˆ i −

)2

Qe = ∑n

( yi − yˆ i )2

y

i=1

i=1

Аналогичный

результат можно получить и с помощью функции

ТЕНДЕНЦИЯ из категории «Статистические» (ячейки E29:H29).

Таблица «Регрессионная статистика»:

•

«Множественный

R» –

коэффициент

корреляции r

(сравните

с полученными ранее в ячейках D14 и С28);

с ячейкой

• «R-квадрат» –

коэффициент детерминации R 2 (ср.

F14);

•

«Нормированный R-квадрат» – скорректированный (нормиро-

ванный,

адаптированный, поправленный)

коэффициент детер-

минации

R

,

учитывающий количество

объясняющих пере-

менных

ˆ

2

(см. раздел «Множественная регрессия»);

•

«Стандартная ошибка» –

остаточное стандартное отклонение

s =

s 2

(корень из остаточной дисперсии, вычисленной ранее в

ячейке D23);

•

«Наблюдения» – объем выборки (количество наблюдений) n .

Таблица «Дисперсионный анализ»:

•

столбец

«df» –

число степеней свободы k :

-

для строки

«Регрессия» – равное количеству объясняющих

переменных

p в уравнении регрессии: k r = p ;

-

для строки

«Остаток» –

ke

= n − ( p + 1) ;

-

для строки

«Итого» –

k =kr

+ke .

•

столбец

«SS» –

сумма квадратов отклонений:

-

для строки

«Регрессия» –

теоретических данных от среднего

(RSS): QR

∑( yi

y )

(сравни с ячейкой H13);

n

ˆ

2

=

i =1

−

теоретических от наблюдаемых дан-

-

для строки «Остаток» –

ных (ESS):

yi ) (сравни с ячейкой L13);

Qe

∑( yi

n

− ˆ

2

=

i=1

-

для строки «Итого» – наблюдаемых данных от среднего (TSS):

-

Q

= ∑n

( yi

−

)2 (сравни с ячейкой I13);

y

i =1

•

столбец

«MS» –

дисперсии MS = SS df :

-

для строки «Регрессия» –

факторная дисперсия;

-

для строки

«Остаток» –

остаточная дисперсия (ср. с ячей-

кой D23);

•

столбец «F» – F- статистика (сравни с ячейкой F16);

Нижеследующая таблица:

•

столбец «Коэффициенты» – оценки коэффициентов уравнения

множественной линейной регрессии y =b0 +b1 x1 +...+bp x p

+ε :

для строки

пересечение

оценка свободного коэффици