41_1_Econometrics_Polyansky__Part_1

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Аналогично введем данные об Y в поле «Значения Y» (предваритель- но, если она есть, стерев строку «={1}»). В поле автоматически запишется «=Лист1!$B$2:$B$11». Обратите внимание, что в окне предварительного просмотра уже можно видеть общий вид графика.

ношения к сути задачи, можно выполнить нажав кнопки «Далее» и «Гото- во». График вставится в текущий лист документа. После этого его можно

редактировать: изменять размер, положение и т.п.

Отметим, что масштаб диаграммы по осям OX и OY выбирается ав- томатически, и не всегда он оптимален для восприятия. Для большей наглядности желательно, чтобы график занимал все пространство диаграм- мы как по оси OX, так и по OY. Если необходимо изменить шкалу графика,

щелкните два раза точно на нужную ось и в раскрывшемся окне установите нужные параметры (рис.1.14).

Рис. 1.14 Рис. 1.15

В результате точечный график экспериментальных значений за-

23

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

дачи будет выглядеть в виде, аналогичном приведенному на рис.1.15.

Его общий вид позволяет сделать предварительный вывод о наличии линейной связи между случайными величинами X (цена на товар) и Y (спрос на товар), т.к. точки на графике лежат близко к воображаемой убывающей прямой. Однако эмпирически трудно определить, насколько эта связь тесная.

2) Мерой тесноты линейной связи между двумя случайными ве-

личинами является линейный коэффициент парной корреляции r :

24

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Для расчета коэффициента корреляции в ячейке C14 впишем коммен-

тарий «r=», а в ячейке D14 - формулу «=(F12-C12*B12)/(B15*B16)».

Обратите внимание на формат ячеек для отображения на экране полу- чившихся значений s x , s y и r . Для них достаточно 3-4-х знаков после за- пятой. Желательно выделить получившиеся значения цветом, фоном и т.п. Результаты расчетов показаны на рис.1.19.

25

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Получен r = − 0,928 близкий по модулю к 1, что говорит о наличии очень тесной линейной связи между X и Y (т.е. их коррелированности). Знак «минус» означает, что имеет место обратная линейная корреляция, т.е. с ро- стом X уменьшается Y, что соответствует экономическому смыслу: с ростом цены на товар спрос на него обычно падает.

Рис. 1.19

Заметим, что в иных экономических ситуациях возможен иной эффект от увеличения цены на товар, например, нелинейное падение спроса или даже его рост. Но здесь обработаны конкретные статистические данные, для которых и получен соответствующий вывод.

3) По общему виду точечного графика экспериментальных значений (рис.1.15) можно сделать предварительное предположение о том, что в дан- ном случае может подойти модель парной линейной регрессии.

Оценки её коэффициентов вычисляются по формулам:

Отрицательный знак ˆ соответствует убывающей регрессии, а его модуль b

характеризует угол наклона прямой линии. Итак

ˆy = 79,949 − 1,630 x .

26

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

27

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

ны на одну диаграмму, хорошо видно, что экспериментальные точки лежат достаточно близко к теоретической прямой линии – графику уравнения парной линейной регрессии. Это согласуется с полученным выше значением коэффициента корреляции, близким по модулю к 1.

Задача 1.2

Используя условия и предварительные результаты решения задачи

1.1:

1) оценить качество подгонки полученного уравнения регрессии с по- мощью коэффициента детерминации R 2 ;

2) оценить значимость (статистическую надежность) модели на уровне α =0,05 с помощью F-критерия Фишера-Снедекора;

3) оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью сред- ней ошибки аппроксимации A ;

4) дать оценку силы связи между Y и X с помощью среднего коэффици- ента эластичности Э;

Решение.

1) Оценим качество подгонки полученного уравнения регрессии (качество модели). Или проще: насколько близко проходит её график от всех экспериментальных точек в совокупности, «насколько модель хороша». Оно оценивается коэффициентом детерминации R 2 .

!Замечания.

•Запись «^2» в Microsoft Excel, как и во многих языках программирования, означает возведение в квадрат.

28

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

• Обратите внимание на абсолютный адрес $B$12, что необходимо для того, чтобы при протягивании столбцов H и I не происходила его переадресация.

Суммы полученных квадратов разностей (т.е. столбцов H и I) по- лучим в 13-й строке, озаглавив её «Суммы». Это можно сделать в ячейках H13 и I13 вызовом функции СУММ или щелкнув на кнопку

панели инструментов и выделив соответствующий диапазон ячеек

(H2:H11 или I2:I11).

Осталось только внизу таблицы в ячейке E14 ввести комментарий «R=», а в ячейке F14 – формулу «=H13/I13».

Полученное значение коэффициента детерминации R 2 =0,861 близко к единице, что говорит о хорошем качестве построенной моде- ли. Можно для проверки даже получить квадрат коэффициента корре- ляции. Как известно, для парной линейной модели имеет место равен- ство R 2 =r 2 . В ячейке E15 подпишем комментарий «r2=», а в F15 – формулу «=D14*D14». Действительно, R 2 =r 2 =0,861 . Результат пока- зан на рис.1.21.

Рис. 1.21

2) Оценим значимость модели в целом. Или проще: «насколько модели можно доверять при имеющихся исходных данных».

Как известно, уравнение регрессии значимо, если наблюдаемое значение статистики F больше табличного значения F-критерия Фи- шера-Снедекора (табл. 4 приложения) на уровне α (обычно α =0,05 ) при k1 = p = m − 1 и k2 = n − m = n − p − 1 степенях свободы:

29

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

F> F0 ,01;1 ;8 = 11,26 .

3)Оценим качество полученного уравнения регрессии с помо-

щью средней относительной ошибки аппроксимации

30

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

теристики. Для этого в G14 введем комментарий «Aср. =», а в H14 – формулу «=K12».

Допустимой максимальной средней относительной ошибкой обычно считается 8…10%. Данная модель недостаточно точна. Это не значит, что ею нельзя пользоваться. Надо лишь учитывать, что разброс наблюдаемых значений относительно оценочных не мал. Соответ- ственно, могут быть допущены существенные ошибки в прогнозах.

4) Оценим силу связи между X и Y с помощью среднего коэффи- циента эластичности. Т.к. для парной линейной регрессии f ' ( x) =b , то

Э = f '( x) x =b x . y y

В ячейке G15 введем комментарий «Эср. =», а в ячейке H15 –

формулу «=D15*C12/B12». Полученное значение Эср. = −0,731 означа- ет, что спрос на данный товар неэластичен. При увеличении X на 1% от своего среднего значения Y уменьшится на 0,731% от своего сред- него значения. Сила влияния X (цены товара) на Y (спрос на него) не слишком велика. С ростом цены на данный товар спрос на него падает не слишком значительно.

Задача 1.3

Используя условия и результаты решения задач 1.1 и 1.2:

1) спрогнозировать для некоторого продавца спрос на данный товар при цене 18 руб.;

2) в каких пределах может варьироваться реальный спрос у этого про- давца (с 95% надежностью) при заданной цене;

3) в каких пределах может варьироваться средний спрос у всех продав- цов, установивших такую цену;

4) найти для данной модели (с 95% надежностью) диапазоны возможных значений оценок коэффициента регрессии b и дисперсии ошибок σ2 .

Решение.

1) Имея уравнение парной линейной регрессии (задача 1.1), мож- но осуществлять прогнозирование спроса на товар при заданной цене. Решение будем продолжать в том же файле Microsoft Excel, что и зада-

чи 1.1, 1.2.

Условное математическое ожидание этого спроса, т.е. M x =18 (Y ) оценивается групповой средней yˆ = , которую можно получить под- становкой x=18 в уравнение регрессииx 18 :

31

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

i =1

еще столбец M квадратов разностей текущих и среднего значений X. Формула для ячейки M2 – «=(C2-$C$12)^2», которую протянем по диапазону M2: M11, а в ячейке M13 получим искомую сумму.

32