- •Практикум по линейной алгебре Задачи и упражнения к главе 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
- •1). . 2).. 3)..
- •10). .
- •1.3. A) ; б) ; в).
- •Задачи и упражнения к главе 2. Элементарные преобразования матриц
- •2.1. Решения.
- •2.16. А).
- •2.17. А). Решение.
- •Задачи и упражнения к главе 3. Решение систем линейных уравнений
- •1) 2)3)
- •4) 5)6)
- •7) 8)9)
- •10) 11)12)
- •Глава 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8)9)
10) 11)12)
3.3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11) при , .
3.4.Записать матричное уравнение в виде системы уравнений:
3.5.Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
3.6.Решить определённую систему линейных уравнений методом Гаусса: .
3.7.Решить определённую систему уравнений:
3.8.Решить методом Гаусса определенные системы линейных уравнений:
а) б)в)
г) д)е)
ж) з)и)
к) м)
3.9. Методом Гаусса решить неопределённую систему линейных уравнений.
3.10.а). Переставив 4-ый столбец матрицы на первое место,
разрешить неопределённую систему линейных уравнений относительно неизвестных.
б) Можно ли переменные в этой системе объявить главными?
3.11. Исследовать на совместность и найти общее решение системы:
а) б)
в) г)
3.12.Исследовать на совместность, найти общее и одно частное решение системы:
а) б)
в) г)
е)
3.13. Найти общее решение системы:
а) б)
в) г)
3.14.Найти общее решение системы линейных уравнений:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
3.15. Для каждого из значений параметрарешить систему уравнений
3.16. В период отопительного сезона в город Замерзаевск ежедневно поступает некоторое количество угля, кроме того в начале отопительного сезона имелся некоторый запас угля. Каждая котельная потребляет одинаковое количествоугля. Известно, что 70 котельных израсходовали бы весь уголь за 24 дня, а при работе 30 котельных угля хватило бы ровно на 60 дней. Сколько котельных в городе, если угля хватило на 96 дней?
Ответы на задачи к главе 3
3.1.а) Решение:.
;
.
Ответ: (–5; 5).
б) Решение: ;
;
.
Ответ: (–6; 5).
в) Решение: ;
;
;.
Ответ: (6;–7).
д) Решение:
;
.
.
.
Ответ: (–12; 0; 3).
3.2.1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5).; 6).; 7).; 8).; 9). ; 10). ; 11). ; 12).,.
3.3. 1). ;2). ;
3). ;4). ;
5). ;6). ;
7). ;8). ;
9). ;10). ;
3.4.Решение.;.
3.5.1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3.6.Решение:
.
Ответ: = 3; = 2;= 1.
3.7.Решение. Составляем расширенную матрицу системы и приводим её элементарными преобразованиями строк к приведённому ступенчатому виду:.
Ответ:
3.8.а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
м)
3.9. Решение. Данной системе линейных уравнений сопоставим матрицу:
.
Приведём матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду: .Нулевые строчки в расширенной матрице системы можно не писать.
Сопоставим этой матрице систему линейных уравнений:
Переменные, соответствующие тем столбцам, в которых есть лидеры строк, объявляются главными (базисными), а остальные переменные объявляются свободными. Таким образом, – главные;– свободная. Выразим главные переменные через свободные.
;;;.
Свободные переменные играют роль парламентов, которые могут принимать любые действительные значения: , где tR.
Общее решение данной системы линейных уравнений имеет вид:
, , , т.е. , где tR.
3.10.а). (;;,).
б). Соответствующий минор равен –1. Следовательно, переменные можно объявить главными, так как в столбцах располагается минор максимального порядка.
3.11.
а) ;б)(3; 2t+ 1;t);
в) система несовместна;г)система несовместна.
3.12.а)общее решение: (−a + 2b +1;a + b +1;a;b);
частное решение: (1; 1; 0; 0);
б)общее решение: (−2a+2b− 1;a + 2b + 2;a;b);
частное решение: (−1; 2; 0; 0);
в)общее решение:;
частное решение: (−1; −1; 0; 0);
г)общее решение:;
частное решение: ;
е) система несовместна.
3.13.а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3.14.1)
2)
3)
4) ,
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
3.15.Указания. Система линейных уравненийс нулевым столбцом свободных членов (в правой части которой расположены только нули) называется однородной. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Однородная система линейных уравнений cнеизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.
Решение.1). Перепишем систему в виде. Система имеет только нулевое решениетогда только тогда, когда определителя матрицы системы не равен нулю
Для вычисления определителя вычтем из 3-ей строки первую и прибавим ко второй строке первую, умноженную на ,
Приравниваем определитель к нулю и находим корни уравнения
:
,.
Итак,
1) прииданная система имеет единственное решение (,,).
2). При система принимает вид
Её решением является выражение главной неизвестнойчерез свободные неизвестныеи.
При общее решение системы имеет вид: (,,), где– любые числа.
3). При расширенная матрица системы приобретает вид.
.
Приводя матрицу к ступенчатому виду, получаем
Преобразуем теперь ступенчатую матрицу к приведённому ступенчатому виду
Этой матрице соответствует система уравнений
При имеемгде– любое число.
Общее решение системы в этом случае имеет вид: (,,), где.
3.16. Пусть– число котельных в городе. Тогда система трёx линейных уравнений с тремя неизвестными
;имеет некоторое ненулевое решение. По теореме получаем, что
Из первого столбца выносим а из второго –и получаем ( ).
Отсюда Ответ. 20.
Содержание