- •Практикум по линейной алгебре Задачи и упражнения к главе 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
- •1). . 2).. 3)..
- •10). .
- •1.3. A) ; б) ; в).
- •Задачи и упражнения к главе 2. Элементарные преобразования матриц
- •2.1. Решения.
- •2.16. А).
- •2.17. А). Решение.
- •Задачи и упражнения к главе 3. Решение систем линейных уравнений
- •1) 2)3)
- •4) 5)6)
- •7) 8)9)
- •10) 11)12)
- •Глава 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
Московский государственный университет экономики, статистики и информаики
М.Ю. Тельнова
В.А. Мушруб
Практикум по линейной алгебре Задачи и упражнения к главе 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
1.1. Выполнить указанные операции со строками:
a) б)
в) г)
д) е) (1; 2; 1) + (1;1;2);
ж) (1; 1; 3; 2) + (1;1;3;2);
з) 4 (4; 1; 2; 0)7(2;1; 0; –5);
г) 5 (1; 3;2)2(5; 0;5) + 3(5;5; 0).
1.2.Выполнить указанные операции с матрицами:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
1.3. Найти матрицуесли:
а)
б)
в)
1.4. Образуют ли все геометрические прогрессии с 4 членами линейное пространство?
1.5. Проверьте, что следующие три множества с заданными на них операциями являются линейными пространствами:
а).Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве или на плоскости) со стандартными операциями сложения и умножения на число.
б).Множество всех многочленов степени, не превышающейk:, где a, a, …, a - произвольные вещественные числа,).
Указание.Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, остаётся проверить выполнение аксиомам Л1) – Л8).
в). Множество непрерывных на отрезке [a, b] функцийC[a, b].
Указание. Возьмём две непрерывные на [a, b] функцииf (x),g (x). Так как как сумма непрерывных функций f (x)+g (x) непрерывна на [a, b] итакже непрерывна, то остаётся проверить, что выпонение аксиомам Л1) – Л8).
1.6. Умножить строку на столбец:
1) ; 2);3); 4);
5) ; 6); 7);
8) ; 9); 10).
1.7. Умножить матрицу на столбец:
1) ; 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8); 9); 10).
1.8.Вычислить произведения матриц.
1) ; 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8); 9); 10);11)
12)13)14)
15); 16) ; 17);
18) ; 19); 20);
21) ; 22);
23) ; 24);
25) .
1.9.
Вычислить , если
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
8)
9)
10)
11) Случайно ли на главной диагонали в задачах 1)-6) получаются взаимно противоположные числа?
1.10.Выполнить операции с матрицами:
1) ; 2); 3); 4);
5) ; 6); 7) ; 8) .
1.11. Вычислить произведения матриц:
1). ; 2);
3) ; 4);
5) ; 6);
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18)
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) .
1.12. Положим,, ...,.
Вычислить:
1.13.Проверить, что.
1.14. Вычислить: а); б); в).
1.15.ПустьНайтигде
1.16.Найти значение многочлена , если:
а) =; ==;
б) =; =;
в) =; =;
г) =; =.
1.17. Даны матрицыиВычислить матрицу, если:
1). ;;.
2). ;;.
3). ;;.
4). ;;.
5). ;;.
6);;.
7).;;
8).;;.
9).;;.
10).;;.
11).;;.
12).;;.
13).;;.
14).;;.
15).;;.
1.18. Приведите пример, показывающий, что произведение матриц некоммутативно.
1.19. Придумайте условие, при котором для двух матрицA иBсправедливы формулы разности квадратов, квадрата разности и квадрата суммы: , . Верны ли эти формулы для двух произвольных квадратных матриц одного порядка.
1.20.Вычислить определители:
1);2);3) ;4) ;5);6) ;7);8) ;9);10);
11).
1.21. Вычислить определители по правилу треугольников или правилу Саррюса:
1). . 2).. 3)..
4). . 5).. 6)..
7). . 8).. 9)..
10. . 11)..
12).
1.22. Вычислить определители разложением по строке (столбцу).
1). . 2).. 3).. 4)..
5). . 6).. 7)..
8). . 9).. 10)..
1.23. Вычислить определители, используя их свойства.
1). . 2).. 3).. 4)..
5). . 6).. 7).. 8)..
9). . 10). . 11). .12). .
1.24.Числа 551, 377и 319 кратны числу 29. Докажите, что определительделится на 29 без остатка, не вычисляя этот определитель.
1.25.Докажите, что определительделится на 2, на 9 и на 18 без остатка, не вычисляя этот определитель.
1.26. Числа,икратны числу. Не вычисляя определитель, докажите, чтои, следовательно, .
1.27.Элементами матрицы знаков алгебраических дополнений служат знаки «плюс» и «минус», причем в–й строке на–м месте стоит «плюс», если–четное число, в противном случае – знак «минус». Составьте такую матрицу порядка: 1) три; 2) четыре; 3) пять.
В задачах 1.28.–1.29 определители можно вычислить, применяя разложение по строке (столбцу), преобразуя определители с помощью элементарных преобразований строк и используя их свойства.
Элементарные преобразования строк:
1) перемена двух строк местами;
2) прибавление к одной из строк определителя другой строки, умноженной на некоторое число;
3) умножение некоторой строки определителя на число, не равное нулю.
Напомним, что при преобразовании первого типа, определитель меняет свой знак; при преобразовании второго типа не меняется; и при преобразовании третьего типа, определитель умножается на то число, на которое была умножена строка.
1.28. Вычислить определители:
1).; 2).; 3).;
3).; 5).; 6).;
7).; 8).; 9).;
10).;11).; 12)
1.29.Вычислить определители:
1). ;2). ; 3). ;4). ;5). ;6). ; 7). ; 8). ; 9). ; 10). ; 11). ; 12). ; 13). ; 14). ;
15). ; 16). .
1.30.Разложите определитель
1) по первому столбцу (строке);
2) по последнему столбцу (строке).
1.31. Какие из следующих бинарных отношений являются подстановками:
1), 2),3),4)?
1.32. Найти знак перестановки двумя способами (по числу инверсий и при помощи транспозиций):
1). 3 2 1; 2). 2 3 1 4; 3). 3 1 2 4; 4). 2 4 1 3; 5). 5 2 3 4 1; 6). 1 4 3 2 5;
7). 6 7 2 5 1 3 4; 8). 7 2 3 1 5 4 6; 9). 6 5 3 1 2 4 7; 10). 5 3 4 7 6 1 2.
1.33.а). Найдите число инверсий в подстановке, определите ее четность и знак по числу инверсий.
б). Представьте подстановку в виде произведения независимых циклов, определите ее четность и знак по декременту.
в). Определите четность подстановки и её знак при помощи транспозиций.
1).;2). ;
3). ;4). ;5). ;
6). ;7). ;
8). 9).;