- •Практикум по линейной алгебре Задачи и упражнения к главе 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
- •1). . 2).. 3)..
- •10). .
- •1.3. A) ; б) ; в).
- •Задачи и упражнения к главе 2. Элементарные преобразования матриц
- •2.1. Решения.
- •2.16. А).
- •2.17. А). Решение.
- •Задачи и упражнения к главе 3. Решение систем линейных уравнений
- •1) 2)3)
- •4) 5)6)
- •7) 8)9)
- •10) 11)12)
- •Глава 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
2.1. Решения.
Ответ: Ступенчатый вид матрицы:
Приведённая ступенчатая форма матрицы: .
2.2. Ступенчатая форма матрицы определена не однозначно, поэтому для каждой матрицы приведены один или несколько возможных ответов:
1) или или
2) или
3) или
4) 5)
6) 7) 8).
2.3. 1) 2) 3)
4) 5)
6) 7) ; 8) .
2.4. Решение.
1) Из первого столбца вычтем пятый:
2). Вынесем число 5 из первого столбца и затем из второй и третьей строки вычтем первую, а из четвертой и пятой удвоенную первую строки:
3). К четвертой строке прибавим вторую, а из пятой вычтем вторую, в результате получим верхнетреугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов её главной диагонали:
.
2.6. а) 1; б) 1; в) 3; г) 4; д) 3; е) 3; ж) 3; з) 3; и) 3; к) 1; л) 1; м) 2; н) 2.
2.7. 2.
2.9. 1). Решение.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк..
Ответ: ранг равен 2.
2) 3. 3) 2. 4) 2. 5) 4. 6) 4. 7) 2. 8) 3. 9) 2; 10) 3;
11) 2; 12) 3; 13) 2; 14) 3; 15) 4.
2.10. Решение:
, т.е.
Выражения вида называются линейными комбинациями векторов.
2.11.
а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) да.
2.12. 1). Решение.Составляем матрицу, располагая координаты векторов по столбцам, и приводим её к приведённому ступенчатому виду
.
Ответ:Базис системы векторов:, ранг равен числу векторов в базисе, т.е. равен 2, небазисный вектор выражается в виде линейной комбинации базисных следующим образом .
2). Решение.Составляем матрицу, располагая координаты векторов по столбцам, приводим её к приведённому ступенчатому виду:. Базис системы векторов:, ранг равен числу векторов в базисе, т.е. равен 2, небазисные векторы выражаются в виде линейной комбинации базисных следующим образом:;.
3)базис образуют три первых вектора, ранг равен 3,
4) базис образуют первые два вектора, ранг равен 2,
5) ранг равен 3, базис образуют все три вектора:
6) базис образуют первые два вектора: ранг равен 2,
7) базис образуют первые два вектора: ранг равен 2
8) векторы образуют базис; ранг равен 3,
9) векторы и образуют базис; ранг равен 2;
10) − базис; ранг равен 2, ;
11) − базис; ранг равен 2, ; ;
12) − базис; ранг равен 2, ; ;
13) − базис; ранг равен 3, ; ;
14) − базис; ранг равен 2, ; ; .
2.13. а).б).
в). д).е).
ж)., з).и).
к). л).м).
2.14. 1) 2) 3) 4)
5) Решение:
2.15. Решение:
;;;
;
; ;;
; ;.
Следовательно, .
Ответ. .
2.16. А).
б).
в).
г).
д).
е). .
2.17. А). Решение.
.
Проверка:
.
б).
в). .
г). Решение.;
=.
д). Решение:
; = .
2.18. а)б)
в) г)д)
е) ж)
з)
2.19.1.. 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. . 26.. 27..
28. . 29..
2.20.д)е)ж)з)и)к)
2.21.Ответ: , гдеи– произвольные действительные числа такие, что.
Задачи и упражнения к главе 3. Решение систем линейных уравнений
Правило Крамера.
Рассмотрим систему – линейных уравнений снеизвестными.
Определитель , составленный из коэффициентов системы, назовем определителем системы.
Определитель получаемый заменой -го столбца в определителена столбец свободных членовобозначим черези будем называть определителем соответствующим неизвестной.
1). Если , то система линейных уравнений имеет единственное решение, задаваемое формулами:
,,…,.
2). Если , то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
3). Если и хотя бы один из определителейне равен нулю, то система не имеет решений.
3.1.Используя правило Крамера, решить системы линейных уравнений:
а) ; б);
в) ; г).
3.2.Решить методом Крамера системы линейных уравнений: