Определенный интеграл функции одной переменной
Вычислить определенные интегралы.
№ |
Определенные интегралы |
1 |
; ; ; ; ; |
2 |
; ; ;; ; |
3 |
; ; ; ; ; |
4 |
; ; ; ; ; |
5 |
; ; ; ; ; |
6 |
; ; ; ; ; |
7 |
; ; ; ; ; |
8 |
; ; ; ; ; |
9 |
; ; ; ; ; |
10 |
; ; ; ; ; |
11 |
; ; ; ; ; |
12 |
; ; ; ; ; |
13 |
; ; ; ; ; |
14 |
; ; ; ; ; |
15 |
; ; ; ; ; |
16 |
; ; ; ; ; |
17 |
; ;; ; ; |
18 |
; ; ; ; |
19 |
; ; ; ; ; |
20 |
; ; ; ; ; |
21 |
; ; ; ; ; |
22 |
; ; ; ; ; |
23 |
; ; ; ; ; |
24 |
; ; ; ; ; |
25 |
; ; ; ; ; |
26 |
; ; ; ; ; |
27 |
; ; ; ; ; |
28 |
; ; ; ; ; |
29 |
; ; ; ; ; |
30 |
; ; ; ; ; |
31 |
; ; ; ; ; |
32 |
; ; ; ; ; |
33 |
; ; ; ; ; |
34 |
; ; ; ; ; |
35 |
; ; ; ; ; |
36 |
; ; ; ; ; |
37 |
; ; ; ; ; |
38 |
; ; ; ; ; |
39 |
;;; ; ; |
40 |
; ; ; ; . |
Дифференциальное исчисление функции двух переменных
Задание 1. Для функции двух переменных , пользуясь правилами дифференцирования, найти производные: .
№ |
Функция |
№ |
Функция |
1 |
; |
2 |
; |
3 |
; |
4 |
; |
5 |
; |
6 |
; |
7 |
; |
8 |
; |
9 |
; |
10 |
; |
11 |
; |
12 |
; |
13 |
; |
14 |
; |
15 |
; |
16 |
; |
17 |
; |
18 |
; |
19 |
; |
20 |
; |
21 |
; |
22 |
; |
23 |
; |
24 |
; |
25 |
; |
26 |
; |
27 |
; |
28 |
; |
29 |
; |
30 |
; |
31 |
; |
32 |
; |
33 |
; |
34 |
; |
35 |
|
36 |
; |
37 |
; |
38 |
; |
39 |
; |
40 |
. |
Задание 2.Найти точки экстремума функции .Характеризовать их тип.
№ |
Исследуемая функция |
№ |
Исследуемая функция |
1 |
; |
2 |
; |
3 |
; |
4 |
; |
5 |
; |
6 |
; |
7 |
; |
8 |
; |
9 |
; |
10 |
; |
11 |
; |
12 |
, (); |
13 |
; |
14 |
; |
15 |
; |
16 |
; |
17 |
; |
18 |
; |
19 |
; |
20 |
; |
21 |
; |
22 |
; |
23 |
; |
24 |
; |
25 |
; |
26 |
; |
27 |
, ; |
28 |
; |
29 |
; |
30 |
; |
31 |
, ; |
32 |
; |
33 |
; |
34 |
; |
35 |
; |
36 |
; |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Неопределенный интеграл
Определение и основные свойства неопределенного интеграла
Функция называется первообразной функцией дляили интегралом для,если производная от этой функции равнат.е..
Выражение , где— произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производнуюили дифференциал. Это выражение называется неопределенным интегралом и обозначается символом
в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение называется подынтегральным выражением, а функция— подынтегральной функцией.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства:
1.
2.
3. Свойство линейности
Таблица простейших интегралов
Приемы интегрирования
Замена переменных в неопределенном интеграле
Если
,
то тогда
. (4.1)
Пусть требуется вычислить интеграл
Выбирая в качестве новой переменной функцию , такую что подынтегральное выражение представляется в виде
Цель данного приема состоит к переходу более удобной для интегрирования функции .
Пример. . Вводя, получаем
Интегрирование по частям
Этот прием представляет сведение данного интеграла к интегралус помощью формулы
(4.2)
Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем.
Это правило хотя и имеет более ограниченную область применения по сравнению с заменой переменной, существует целый класс функций, который интегрируется именно с помощью этого метода. Сюда можно отнести:
где есть любое целое положительное число.
Применение формулы (4.2) предусматривает последовательное понижение степени до нулевой.
Интегрирование простых дробей
К простым дробям относятся