§ 15.2. Простейшие признаки сравнения

§15.2. Простейшие признаки сравнения

Вэтом и нескольких следующих параграфах основное внимание сосредоточено на признаках (достаточных условиях) сходимости рядов.

Теорема 15.2.1. Сходимость ряда

∞

∑

=1

с неотрицательными членами равносильна ограниченности последовательности его частных сумм.

Действительно, в этом случае

+1 = + +1 > ,

т.е. последовательность частных сумм ряда возрастает и утверждение теоремы вытекает из свойств монотонных последовательностей.

В теореме 15.2.1 можно предполагать, что условие > 0 выполняется не при всех , а только для достаточно больших . В таких случаях говорят, что члены ряда финально неотрицательны. Подобное замечание можно будет сделать и ко многим другим теоремам, но не будем на этом останавливаться.

Теорема 15.2.2 (Признак сравнения). Пусть – комплексные числа, – действительные числа и | | 6 для всех . Тогда

любых и , удовлетворяющих условию < 6 , выполняется неравенство

∑

< .

=

∑ ∑ ∑

= = =

и, пользуясь критерием Коши теперь как достаточным условием,

∑

и ряд .

Теорема доказана.

Следующие две теоремы являются простыми следствиями теоремы 15.2.2, но ими часто удобно пользоваться. Их также называют признаками сравнения.

Теорема 15.2.3. Если числа и положительны и существуют такие числа 1 и 2 , что при всех

15.2.1) следует, что

1 6 6 2 ,

и остается только применить теорему 15.2.2.

Условия теоремы 15.2.3 выполняются, если числа и положительны и существует отличный от нуля предел

lim .

→∞

В самом деле, тогда существуют такие положительные числа 1 и 2, что при всех достаточно больших имеют место неравенства (15.2.1). А начальные члены на сходимость рядов не влияют.

Отметим, что теоремы 15.2.1–15.2.3 аналогичны соответствующим утверждениям из § 9.10 о сходимости несобственных интегралов.

При доказательстве следующей теоремы будет использован знак произведения. По аналогии с записью суммы чисел , +1,

. . . , , 6 , с помощью знака суммы

∑

=

то

6 .1 1

Поэтому теорема 15.2.4 вытекает из теоремы 15.2.2.

Теорема 15.2.5 (Признак Даламбера). Пусть > 0 при всех . Тогда

Доказательство. 1 . Положим := . Тогда в силу (15.2.3) справедлива оценка (15.2.2). Поэтому согласно теореме 15.2.4 из

∑ ∑

сходимости ряда вытекает сходимость ряда .

2 . Из (15.2.4) следует, что +1 > . Таким образом, ряд

∑

не может сходиться, так как его члены положительны и образуют финально возрастающую последовательность.

Теорема доказана.

Условие 1 теоремы 15.2.5 можно записать с помощью верхнего предела

lim +1 6 < 1.

→∞

Из теоремы 15.2.5 вытекает следующее утверждение, которое также называют признаком Даламбера (предельной формой признака Даламбера).

Теорема 15.2.6 (Признак Даламбера). Пусть > 0 и существует предел

lim +1 = .

→∞

∑

Тогда ряд сходится, если < 1, расходится, если > 1, а при = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, если < 1, то для 1 ( , 1) при достаточно больших имеем +1/ < 1, а если > 1, то +1 > для достаточно больших .

Так как для рядов (15.1.4) и (15.1.5)

lim +1 = 1

→∞

и один из этих рядов сходится, а другой расходится, то ряд при= 1 в теореме 15.2.6 может быть и сходящимся и расходящимся.

Теорема 15.2.7 (Признак Коши). Пусть > 0 при всех .

Тогда 1 ) ряд ∑ сходится, если существует число < 1 такое,

что для всех достаточно больших

2 . Из (15.2.6) вытекает неравенство > 1, т.е. общий член

∑

ряда не стремится к нулю и ряд расходится. Теорема доказана.

Справедлив также признак Коши в предельной форме.

Теорема 15.2.8 (Признак Коши). Пусть > 0 и существу-

ет предел

√

lim = .

→∞

∑

Тогда ряд сходится, если < 1, расходится, если > 1, а при = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

При < 1 и > 1 эти утверждения следуют из теоремы 15.2.7, а в случае = 1 можно вновь сослаться на ряды (15.1.4) и (15.1.5),

для которых

√

lim = 1.

→∞

В обоих вариантах и признака Даламбера и признака Коши ряд сравнивается с геометрической прогрессией. Таким образом, эти признаки пригодны для доказательства сходимости только тех рядов, члены которых убывают быстрее членов некоторой сходящейся к нулю геометрической прогрессии. Но когда эти признаки применимы, они обычно позволяют сравнительно просто установить сходимость ряда.

Признаки Даламбера и Коши, как признаки расходимости, означают, что общий член ряда не стремится к нулю, поэтому их значение как признаков расходимости невелико.

Покажем, что признак Коши сильнее признака Даламбера, т.е. если сходимость некоторого ряда можно доказать с помощью признака Даламбера, то ее можно установить и с помощью признака Коши, а обратное утверждение неверно.

Будем считать числа при всех положительными, чтобы можно было говорить об обоих этих признаках.

∑

Если сходимость ряда можно доказать с помощью признака Даламбера, т.е. для , начиная с некоторого 0, выполняется неравенство (15.2.3), то при > 0

→∞

из (15.2.7) следует, что для 1 ( , 1) при всех достаточно больших справедливо неравенство

√

6 1,

т.е. выполнено условие 1 признака Коши из теоремы 15.2.7. С другой стороны, если

{

2− при нечетных ,:= 3− при четных ,