§ 18.3. Задачи и упражнения

Докажем необходимость. Предположим, что система { } замкнута, но не полна. Тогда в силу теоремы 18.2.3 существует элемент , для которого не выполняется равенство Парсеваля, т.е.

=1

где – коэффициенты Фурье , причем ряд в правой части (18.2.18) содержит все отличные от нуля коэффициенты Фурье элемента по системе { }.

Так как ряд

∞

∑

| |2

=1

сходится, то в силу полноты пространства согласно теореме Рисса–

Фишера ряд

∞

∑

=1

сходится к некоторому элементу * и для * справедливо равенство Парсеваля

=1

Рассмотрим элемент ′ := − *. Так как числа являются коэффициентами Фурье и элемента и элемента *, все коэффициенты Фурье элемента ′ равны нулю. Отсюда в силу замкнутости системы следует, что ′ = 0, т.е. = *.

Сопоставив (18.2.18) и (18.2.19), получим

‖ ‖2>‖ * ‖2 .

Это противоречие заканчивает доказательство теоремы.

§18.3. Задачи и упражнения

18.3.1.Проведите доказательство неравенства (18.1.1) для произвольных элементов и .

18.3.2.Докажите. что в пространстве непрерывных на [ , ] функций ( ) величины

| ( )|

при (0, 1) не удовлетворяют аксиомам нормы.

18.3.3.Подпространство пространства сходящихся числовых последовательностей обозначают , а подпространство сходящихся к нулю последовательностей обозначают 0. Докажите полноту пространств и 0.

18.3.4.Докажите. что в пространстве со скалярным произведением для любой пары элементов и выполняется равенство

‖ − ‖ + ‖ + ‖ = 2‖ ‖2 + 2‖ ‖2.