Таким образом, нижняя грань значений функции ( 1, . . . , ) может достигаться только в точках, для которых

∑

| |2 6 .

=1

Такие точки образуют в R замкнутое ограниченное множество. Значит, непрерывная на этом множестве ( 1, . . . , ) достигает на нем точную нижнюю грань своих значений.

Теорема доказана.

Полином, для которого достигается точная нижняя грань (18.1.10), называют полиномом наилучшего приближения по системе элементов 1, . . . , .

§18.2. Ортонормированные системы

Вэтом параграфе обозначает линейное пространство со скалярным произведением. В первую очередь будем иметь в виду пространство 2 .

Определение. Ненулевые элементы , называют ортогональными, если ( , ) = 0.

Набор ненулевых элементов { } пространства , где принадлежат некоторому набору индексов , называют ортогональной системой, если ( , ) = 0 для любых ̸= .

Ортогональную систему элементов { } называют ортонормированной, если ( , ) = 1 для всех элементов .

Для краткости часто вместо ортонормированная система пишут ОНС.

С помощью символа Кронекера

{

, =

1 при = ,

0 при ̸= ,

условие ортонормированности системы { } записывается так:

( , ) = , .

Каждая ортогональная система линейно независима.

Действительно, если бы ортогональная система { } была линейно зависимой, то существовал бы такой элемент * этой системы, что для некоторых элементов системы 1, . . . , и чисел1, . . . , выполняется равенство

Умножив скалярно обе части этого равенства на *, получим

Значит, ‖ *‖ = 0 и * = 0, а все элементы ортогональной системы должны быть ненулевыми.

Ортогональная система может состоять как из конечного, так из бесконечного, в том числе и инесчетного набора элементов.

Так, ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства является конечной ортонормированной системой.

Классическим примером бесконечной ортогональной системы является тригонометрическая система

1, cos , sin , = 1, 2, . . . , (18.2.1)

в пространстве 2 [− , ].

Покажем, что функции (18.2.1) попарно ортогональны. Для чисел и , принимающих значения 0, 1, 2, . . . , имеем

168 Гл. 18. Ортонормированные системы

Таким образом, при всех натуральных и имеем

(cos , cos ) = , ,

где , – символ Кронекера. Если – натуральное, а = 0, то

(cos , 1) = 0.

Аналогично для всех натуральных и

∫ 1

(sin , sin ) = − 2[cos( − ) − cos( + ) ] = , .

Далее, при = 0, 1, 2, . . . и натуральных

∫

(cos , sin ) = cos sin = 0,

−

так как это интегралы от нечетных функций. Наконец,

∫

(1, 1) = 12 = 2 .

−

Итак, тригонометрическая система (18.2.1) ортогональна в пространстве 2 [− , ], а функции

образуют ортонормированную систему.

Чтобы убедиться, что ортонормированная система может быть несчетной, рассмотрим пространство всевозможных конечных линейных комбинаций функций sin , определенных на всей оси, где – произвольные числа. Скалярное произведение функций( ) и ( ) в этом пространстве зададим формулой

Легко проверить, что в этом случае выполнены аксиомы скалярного произведения и функции sin , ̸= 0, образуют ОНС. В самом деле,

Это равенство показывает, что минимальное значение норма (18.2.3) имеет, если = при всех = 1, . . . , .

Заметим, что для элемента = 0 все = 0. Таким образом, для произвольного полинома по ортонормированной системе, справедливо равенство

=1 =1

Определение. Если в линейном пространстве со скалярным произведением элементы , , образуют ортонормированную систему и , то числа := ( , ) называют коэффициентами Фурье элемента по системе { }.

Коэффициенты Фурье ( , ) обозначают ̂ .

Используя коэффициенты Фурье, доказанное выше утверждение можно сформулировать следующим образом.

Теорема 18.2.1. Если 1, . . . , – ортонормированная система в , то для каждого элемента

где – коэффициенты Фурье по системе 1, . . . , . При этом

Свойство, выраженное равенством (18.2.5), называют минимальным свойством коэффициентов Фурье, а равенство (18.2.6)

– тождеством Бесселя.

Из (18.2.6) следует, что для каждого элемента и произвольной ортонормированной системы 1, . . . , справедлива оценка

=1

Поэтому для любой несчетной ОНС в пространстве у каждого элемента отличными от нуля может быть не более счетного

множества коэффициентов Фурье. В самом деле, в силу (18.2.7)

√

для каждого натурального числа неравенство | | > 1/ может выполняться только для конечного числа коэффициентов Фурье элемента . А для любого неравного нулю коэффициента Фурье такое неравенство имеет место при некотором .

Из оценки (18.2.7) вытекает также следующее утверждение.

Теорема 18.2.2 (Неравенство Бесселя). Если в пространстве последовательность элементов 1, 2, . . . образует ортонормированную систему и – коэффициенты Фурье элементапо этой системе, то справедливо неравенство

=1

которое называют неравенством Бесселя.

Неравенство Бесселя может быть строгим. Действительно, если элементы 1, 2 ортогональны и нормированы, то для ОНС, состоящей из 2, коэффициент Фурье элемента 1 равен нулю и неравенство (18.2.8) имеет вид 1 > 0.

Если в неравенстве (18.2.8) имеет место равенство, его называют равенством Парсеваля.

Определение. Если 1, 2, . . . – ортонормированная система в пространстве и числа 1, 2, . . . – коэффициенты Фурье элемента по этой системе, то ряд

∞

∑

=1

называют рядом Фурье элемента по системе 1, 2, . . . .

Теорема 18.2.3. Если { } – ортонормированная система в пространстве , то для каждого элемента следующие утверждения эквивалентны:

1 ) для каждого положительного числа существует поли-

ном

∑

*

=1

Поэтому в силу (18.2.14) ( , ) = и теорема доказана.

Из этой теоремы и неравенства Бесселя следует, что сходи-

мость ряда

∞

∑

=1

является необходимым условием, для того чтобы ряд (18.2.13) по ортонормированной системе 1, 2, . . . сходился к некоторому элементу пространства .

Так как согласно (18.2.4) для любых чисел >

= =

то из сходимости ряда (18.2.15) следует выполнение условия Коши для ряда (18.2.13).

А если пространство является полным, то из выполнения условия Коши для ряда (18.2.13) следует, что этот ряд сходится к некоторому элементу из (полнота пространства здесь необходима).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 18.2.5 (Теорема Рисса–Фишера). Если 1, 2, . . . –

ортонормированная система в гильбертовом пространстве и1, 2, . . . – числа, для которых сходится ряд (18.2.15), то ряд (18.2.13) сходится по норме к некоторому элементу , является рядом Фурье своей суммы и справедливо равенство Пар-

севаля

∞

∑

‖ ‖2 = | |2.

=1

Определение. Множество элементов { } линейного нормированного пространства называют полным в этом пространстве,

если каждый элемент пространства можно как угодно хорошо приблизить полиномом по системе { }, т.е. для любого числа> 0 существует полином по системе { }, для которого

∑

− < .

=1

Если в линейном пространстве со скалярным произведениемэлементы { } образуют ортонормированную систему, то согласно теореме 18.2.3 полнота этой системы равносильна тому, что каждый элемент является суммой своего ряда Фурье по системе { }, а также тому, что для каждого элемента выполняется равенство Парсеваля.

Установим еще одно необходимое и достаточное условие полноты ортонормированной системы.

Теорема 18.2.6. Для того чтобы ортонормированная система { } была полна в пространстве , необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов , имело место ра-

венство

∞

=1

где последовательность { } содержит все элементы системы { }, для которых хотя бы один из коэффициентов Фурье ( , ) и ( , ) отличен от нуля.

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 18.2.3, так как при = равенство (18.2.16) превращается в (18.2.11).

Докажем необходимость. Для этого покажем, что из (18.2.11) следует, что равенство (18.2.16) справедливо для любой пары элементов , .

Введем обозначения := ( , ) и := ( , ). При любом