54 |
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
до порядка − 1, > 1, включительно, а производная порядка кусочно непрерывна. Тогда справедливо равенство (9.6.9), которое называют формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Связь остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме с представлением остаточного члена в форме Лагранжа будет рассмотрена в следующем параграфе.
§ 9.7. Теоремы о среднем
Теорема 9.7.1 (Первая теорема о среднем). Пусть на отрезке [ , ] функции ( ) и ( ) интегрируемы,
6 ( ) 6 |
(9.7.1) |
и ( ) > 0. Тогда существует такое число [ , ], что
∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) . |
(9.7.2) |
Доказательство. Пользуясь неотрицательностью функции( ), умножим неравенства (9.7.1) на ( ):
( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ).
Проинтегрируем полученное двойное неравенство:
∫ ( ) 6 |
∫ ( ) ( ) 6 ∫ ( ) . |
(9.7.3) |
Если
∫
( ) = 0,
то из (9.7.3) следует, что интеграл в левой части (9.7.2) также равен нулю и, значит, равенство (9.7.2) справедливо при любом .
Если же
∫
( ) ̸= 0,
то равенство (9.7.2) имеет место при
∫ ∫
:= ( ) ( ) ( ) ,
прич¨ем в силу (9.7.3) 6 6 . Теорема доказана.
§ 9.7. Теоремы о среднем |
55 |
Понятно, что в этой теореме условие ( ) > 0 можно заменить на ( ) 6 0.
Если в теореме 9.7.1 функция ( ) непрерывна, то в качестве чисел и естественно взять минимальное и максимальное значения на отрезке [ , ]. Тогда, используя теорему Коши о промежуточных значениях, получим следующее утверждение.
Следствие 9.7.2. Если на отрезке [ , ] функция ( ) непрерывна, а функция ( ) интегрируема и неотрицательна, то существует точка [ , ] такая, что
∫ |
( ) ( ) = ( ) ∫ ( ) . |
(9.7.4) |
В частности, для ( ) ≡ 1 имеем |
|
|
|
∫ ( ) = ( )( − ). |
(9.7.5) |
Выясним с помощью теоремы 9.7.1 связь остаточного члена формулы Тейлора (9.6.9) в интегральной форме с другими представлениями остаточного члена.
Будем считать, что производная ( )( ) непрерывна на отрезке с концами в точках и 0.
Так как функция ( − ) −1 переменной на этом отрезке не меняет знак, то согласно (9.7.4) между и 0 имеется точка , для которой
|
|
|
( )( )( − ) −1 |
= |
|
|
|
||
( − 1)! ∫ 0 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( − ) −1 |
= |
! ( )( ) ( − 0) . |
||
|
= ( − 1)! ( )( ) ∫ 0 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Таким образом, из остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме получен остаточный член в форме Лагранжа.
Напомним (см. § 6.4), что в точке, где производная ( ) непрерывна, остаточный член в форме Пеано можно получить из остаточного члена в форме Лагранжа.
Выведем из остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме для случая, когда производная ( ) непрерывна, ещ¨ два варианта записи остаточного члена, о которых раньше не говорилось.
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
|
Согласно (9.7.5) между 0 и существует точка такая, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( )( − ) −1 = |
|
|
|
|
|
( − 1)! ∫ 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
( )( )( − ) −1( − 0). |
(9.7.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( |
− |
1)! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записав в виде = 0 + ( − 0), 0 < < 1, получим |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
( )( 0 |
+ ( − 0))(1 − ) −1( − 0) . |
|
|||||
|
( |
− |
1)! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это выражение, как и правую часть формулы (9.7.6), называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Коши.
Применив для произвольного натурального < − 1 первую теорему о среднем к произведению ( )( )( − ) · ( − ) −1− , находим
|
|
|
|
|
( )( )( − ) −1 = |
|
|
|
||||
( − 1)! ∫ 0 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
( )( )( |
− |
) |
( − 0) − |
. |
||
|
|
|
− |
|
|
|||||||
|
( |
1)! |
|
|
− |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Такое представление называют остаточным членом в форме Шл¨е- мильха–Роша.
Выше остаточный член в форме Лагранжа был получен при более сильных требованиях на функцию , чем в § 6.4. Точно также представление остаточного члена в форме Коши и в форме Шл¨емильха–Роша справедливо при меньших условиях на функцию , чем это сделано сейчас. Остаточный член в интегральной форме такхе можно получить при меньших ограничениях на , чем в теореме 9.6.9.
Однако, разница в этих условиях не так велика, а наша цель была – показать связь остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме с другими представлениями остаточного члена.
Теорема 9.7.3 (Вторая теорема о среднем). Пусть на отрезке [ , ] функции ( ) монотонно убывает, а функция ( ) интегрируема. Тогда существует такая точка [ , ], что
∫ ( ) ( ) = ( ) ∫ |
( ) + ( ) ∫ |
( ) . (9.7.7) |
|
|
|
§ 9.7. Теоремы о среднем |
57 |
Если при этом функция ( ) неотрицательна, то существует точка [ , ], для которой
∫ ( ) ( ) = ( ) ∫ ( ) . |
(9.7.8) |
Доказательство. Рассмотрим случай, когда ( ) > 0 на
[ , ].
Пусть – разбиение отрезка [ , ] на равных частей точками, = 0, 1, . . . , . Положим для сокращения записей
∫
:= ( ) ( )
и представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам
[ −1, ]
|
|
|
|
|
= =1 |
∫ −1 ( ) ( ) = |
|
||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= =1 ( −1) |
∫ −1 |
( ) + =1 |
∫ −1 [ ( ) − ( −1)] ( ) . |
|
∑ |
|
|
∑ |
|
Обозначим полученные суммы и соответственно. |
||||
Если | ( )| 6 при всех , то |
|
|||
|
|
|
|
|
| | 6 =1 ∫ −1 | ( ) − ( −1)|| ( )| 6 |
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 =1 |
∫ −1 | ( ) − ( −1)| 6 |
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 =1 |
∫ −1 ( ( −1) − ( )) = |
||
|
∑ |
|
|
|
∑
= ( ( −1) − ( )) = ( ( ) − ( )).
=1
Значит, → 0 при → ∞ в силу интегрируемости функции
( ). Поэтому
= |
lim . |
(9.7.9) |
|
→∞ |
|
58 |
|
Гл. 9. |
Определ¨енный интеграл |
|
Оценим величины . Введ¨ем функцию |
|
|||
|
|
( ) := ∫ ( ) . |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( −1)( ( ) − ( −1)) = |
|
|
|
= |
|
||
|
=1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
= |
( −1) ( ) − |
( ) ( ) |
|
|
=1 |
=0 |
|
|
и так как ( 0) = ( ) = 0, то |
|
|
||
|
−1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
= |
( ( −1) − ( )) ( ) + ( −1) ( ). |
(9.7.10) |
||
=1
Функция ( ) на [ , ] непрерывна, пусть и – е¨ минимальное и максимальное значения на [ , ]. В силу монотонного убывания и неотрицательности функции ( ) из (9.7.10) вытекают оценки сверху
−1
∑
6 ( ( −1) − ( )) + ( −1) = ( )
=1
и снизу
−1
∑
> ( ( −1) − ( )) + ( −1) = ( ).
=1
Таким образом, |
|
( ) 6 6 ( ). |
|
Согласно (9.7.9) отсюда следует, что |
|
( ) 6 6 ( ) |
|
и, значит, |
|
= ( ), |
(9.7.11) |
где число [ , ].