92 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
Поэтому тождество
( ) ≡ − ( − ( ))
да¨ет представление ( ) в виде разности двух возрастающих функций, удовлетворяющих, как легко видеть, условию Липшица первого порядка.
Оценим разность верхней и нижней сумм Дарбу–Стилтьеса функции по . Если | ( ′)− ( ′′)| 6 | ′ − ′′|, то для каждого
разбиения имеем
∑
( ) − ( ) = ( ( ) − ( ))( ( ) − ( −1)) 6
=1
∑
6 ( ( ) − ( )) =
=1
= ( ( ) − ( )).
Таким образом, разность сумм Дарбу–Стилтьеса функции по оценена через разность сумм Дарбу–Римана функции .
Следовательно, для любых точек вместо (10.2.7) получаем оценку
| *( ) − ( , )| 6 ( ( ) − ( )),
и используя интегрируемость функции по Риману, приходим к существованию интеграла (10.2.4).
§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса
Аддитивность интеграла Римана относительно промежутка интегрирования (теорема 9.3.1) в отличие от свойств линейности на интеграл Римана–Стилтьеса переносится не в полном объ¨еме.
Теорема 10.3.1. Если функция ( ) интегрируема по функции ( ) на отрезке [ , ] и ( , ), то ( ) интегрируема по( ) на отрезках [ , ] и [ , ] и справедливо равенство
∫ |
∫ |
∫ |
( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ). (10.3.1)
|
|
|
§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса |
93 |
Доказательство. Так как функция интегрируема по на [ , ], то согласно критерию Коши для каждого > 0 существует> 0 такое, что для произвольных разбиений * и ** отрезка [ , ], диаметры которых меньше , при любых наборах точек * и ** справедливо неравенство
| *( , *) − **( , **)| < . |
(10.3.2) |
Чтобы с помощью критерия Коши доказать существование интеграла по отрезку [ , ], рассмотрим произвольные разбиения *′ и **′ отрезка [ , ] с диаметрами, меньшими указаного > 0.
Оценим разность сумм Дарбу–Стилтьеса по отрезку [ , ] для этих разбиений при произвольных наборах точек * и **
*′ ( , *′ ) − **′ ( , **′ ).
Дополним разбиения *′ и **′ одними и теми же точками из отрезка [ , ] до соответственно разбиений * и ** отрезка [ , ] так, чтобы выполнялись оценки * < и ** < . На каждом из добавленных при этом отрезков разбиений возьм¨ем одни и те же точки . Полученные наборы точек обозначим * и **. Тогда
*′ ( , *′ ) − **′ ( , **′ ) = *( , *) − **( , **).
Согласно (10.3.2) имеем
| *( , *) − **( , **)| < .
Таким образом, для интеграла
∫
( ) ( )
выполнено условие Коши и, значит, этот интеграл сходится. Точно так же устанавливается сходимость интеграла по отрезку [ , ].
Равенство (10.3.1) доказывается так же, как и соответствующее равенство (9.3.1) для интеграла Римана. Не будем повторять эти рассуждения.
Таким образом, если функция ( ) интегрируема по функции( ) на отрезке [ , ], то интеграл от по существует и на любом отрезке [ , ] [ , ].
94 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
Но в отличие от интеграла Римана из существования интегралов в правой части равенства (10.3.1) не следует существование интеграла в левой части.
Пусть, например,
{
( ) := 0 при −1 6 6 0, 1 при 0 < 6 1
и
{
( ) := 0 при −1 6 < 0, 1 при 0 6 6 1.
Тогда интегралы |
∫ 1 |
∫ 0 |
|
( ) ( ), |
( ) ( ) |
−1 |
0 |
существуют и оба они равны нулю – первый в силу равенства нулю функции ( ), а второй в силу постоянства функции ( ).
Вместе с тем, интеграл
∫ 1
( ) ( )
−1
не существует. В самом деле, если −1 и – такие точки разбиения , что 0 ( −1, ), то справедливо равенство
( , ) = ( )( ( ) − ( −1)) = ( ).
Значит, для > 0 эта интегральная сумма равна 1, а для < 0 она равна 0.
∫
Аналогично устанавливается, что интеграл ( ) ( ) не существует, если функции ( ) и ( ) имеют общую точку разрыва первого рода, даже когда разрыв является устранимым.
Привед¨ем теоремы об интегрировании неравенств для интеграла Римана–Стилтьеса.
Теорема 10.3.2. Пусть на отрезке [ , ] для функций ( ) и( ) справедливо неравенство ( ) 6 ( ) и эти функции интегрируемы по функции ( ), которая на [ , ] возрастает. Тогда
∫ |
∫ |
( ) ( ) 6 ( ) ( ).
|
|
§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса |
95 |
Теорема 10.3.3. Пусть на отрезке [ , ] функция ( ) имеет ограниченную вариацию и ( ) := ( , [ , ]). Тогда
∫
∫
( ) ( ) 6 | ( )| ( )
для каждой функции ( ), для которой эти интегралы существуют.
Утверждения теорем 10.3.2 и 10.3.3 вытекают из соответствующих оценок интегральных сумм Римана–Стилтьеса.
Теорема 10.3.4 (Формула интегрирования по частям). Если на отрезке [ , ] функция ( ) интегрируема по функции ( ), то ( ) интегрируема по ( ) и справедливо равенство
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
( ) ( ) = ( ) ( ) − |
( ) ( ), |
(10.3.3) |
которое называют формулой интегрирования по частям.
Доказательство. Пользуясь существованием интеграла из правой части равенства (10.3.3), по > 0 находим > 0 такое, что для каждого разбиения ′ с ′ < и любого набора точек′ выполняется неравенство
∫ |
( ) ( ) − ′( , ′) |
< . |
(10.3.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разбиения |
|
|
|
|
Для произвольного |
|
|
|
|
||
= 0 < 1 < · · · < = ,
диаметр которого < /2, представим сумму Римана–Стилтьеса( , ) следующим образом:
∑
( , ) = ( )( ( ) − ( −1)) =
=1 |
|
|
−1 |
∑ |
∑ |
= ( ) ( ) − ( +1) ( ).
=1 =0
Положив 0 := и +1 := , получим
∑
( , ) = ( )[ ( ) − ( +1)] − ( ) ( ) + ( ) ( ) =
=0
96 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
|
|
= − *( , *) + ( ) ( )| , |
(10.3.5) |
где * – разбиение отрезка [ , ] |
|
|
= 0 6 1 6 · · · 6 6 +1 = ,
а* – набор точек . Если какие-либо две точки совпадают, считаем, что они задают одну точку разбиения *. При этом
[ , +1]. |
|
6 2 . |
Для диаметра разбиения * справдлива оценка * |
||
Поэтому * < и согласно (10.3.4) для интегральной суммы |
||
*( , *) имеем |
|
|
∫ |
( ) ( ) − *( , *) < . |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
из (10.3.5) следует, что для произвольного раз- |
|
биения , для которого < /2, и любого набора точек имеет место оценка
∫ |
|
|
|
< . |
( ) ( ) − ( ) ( )| + ( , ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это обеспечивает |
существование интеграла |
|
|
|
∫
( ) ( )
и выполнение равенства (10.3.3). Теорема доказана.
Из теорем 10.3.4 и 10.2.2 следует, что функции ограниченной вариации интегрируемы по непрерывным функциям.
В некоторых случаях интеграл Римана–Стилтьеса можно представить как интеграл Римана.
Теорема 10.3.5. Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по Риману на отрезке [ , ] и
∫
( ) := ( ) .
Тогда функция ( ) интегрируема по ( ) и справедливо равенство
∫ |
∫ |
( ) ( ) = ( ) ( ) . (10.3.6)
|
|
§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса |
97 |
Доказательство. Согласно теореме 9.6.1 функция ( ) удовлетворяет условию Липшица первого порядка, а в силу теоремы 10.2.3 интеграл в левой части (10.3.6) существует.
Рассмотрим интегральную сумму Римана–Стилтьеса функции
по :
∑
( , ) = ( )[ ( ) − ( −1)],
=1
где 0, 1, . . . , – точки разбиения и [ −1, ]. Пусть
= ( ) := sup ( ); |
= ( ) := inf ( ), |
|
|
|
где верхняя и нижняя грани берутся по [ −1, ]. Поскольку
∫
( ) − ( −1) = ( ) ,
−1
имеем
6 ( ) − ( −1) 6 .
Так как
6 ( ) 6 ,
то
|[ ( ) − ( −1)] − ( ) | 6 ( − ) .
Таким образом, если | ( )| < при [ , ], то
( , ) − |
|
( ) ( ) |
|
6 |
=1 |
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑
6| ( )||[ ( ) − ( −1)] − ( ) | 6
=1 |
|
||
|
|
||
∑ |
∑ |
||
6 | ( )|( − ) 6 |
( − ) = |
||
=1 |
=1 |
||
= ( |
|
( ) − ( )). |
(10.3.7) |
|
|||
Здесь ( ) и ( ) – суммы Дарбу–Римана функции .
98 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
Зададим произвольное > 0. Согласно теореме 9.2.3 существует число 1 > 0 такое, что для любого разбиения с < 1 справедлива оценка
( ) − ( ) < 2 .
Так как функция ( ) ( ) интегрируема по Риману, существует 2 > 0 такое, что для каждого разбиения с < 2 при любом наборе точек
|
∫ |
|
( ) ( ) < 2 . |
||
=1 ( ) ( ) − |
|
||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив := min( 1, 2), получаем, пользуясь (10.3.7), что для каждого разбиения с < и любом наборе точек выполняется неравенство
( , ) − |
∫ ( ) ( ) |
< , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда следует (10.3.6). Теорема доказана.
Часто используется следующее утверждение, вытекающее из теоремы 10.3.5.
Следствие 10.3.6. Если на отрезке [ , ] функция ( ) непрерывно дифференцируема, то каждая интегрируемая по Риману функция ( ) интегрируема по функции ( ) и справедливо равенство
∫ |
∫ |
( ) ( ) = ( ) ′( ) .
|
|
Интеграл Римана–Стилтьеса выражается через интеграл Римана не всегда.
Например, пусть ( , ) и
{
( ) := 0 при 6 < ,
1 при 6 6 .
Легко видеть, что для каждой непрерывной на [ , ] функции ( )
∫
( ) ( ) = ( ).
§ 10.3. Свойства интеграла Римана–Стилтьеса |
99 |
Но ни при какой интегрируемой по Риману функции ( ) ра- |
|
венство |
|
∫ ( ) ( ) = ( ) |
(10.3.8) |
не может выполняться для всех непрерывных функций ( ) . Покажем, что если бы такая интегрируемая по Риману функ-
ция ( ) существовала, то из (10.3.8) следовало бы, что ( ) = 0. Рассмотрим функцию ( ), график которой изображен на ри-
сунке.
Согласно (10.3.8) для каждого
∫
( ) ( ) = ( ).
Но если | ( )| 6 для [ , ], то
|
( ) ( ) 6 | ( )| . |
|||
| ( )| = ∫ |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как эта оценка имеет |
место при всех |
, то ( ) = 0. |
||
Таким образом, равенство вида (10.3.8) не может выполняться для всех непрерывных функций ( ).
Продолжим изучение свойств интеграла Римана–Стилтьеса. Пусть функция ( ) равна 1 в точке , являющейся внутренней точкой отрезка [ , ], и равна нулю во всех остальных его точках. Поскольку ( ) – функция ограниченной вариации, согласно теореме 10.2.2 для каждой непрерывной функции ( ) существу-
ет интеграл
∫
( ) ( ). (10.3.9)
100 |
Гл. 10. Интеграл Римана–Стилтьеса |
Так как для каждого разбиения отрезка [ , ], не содержащего точку , интегральная сумма Римана–Стилтьеса ( , ) равна нулю, интеграл (10.3.9) равен нулю.
Поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 10.3.7. Пусть функция ( ) непрерывна на [ , ], а функция ( ) такова, что существует интеграл
∫
( ) ( ). (10.3.10)
Если значения функции ( ) произвольным образом изменить в конечном числе внутренних точек отрезка [ , ], то полученный интеграл будет существовать и значение интеграла (10.3.10) не изменится.
Выше отмечалось, что если функция ( ) кусочно непрерывна и функция ограниченной вариации ( ) разрывна в точках разрыва , то интеграл (10.3.10) не существует. Покажем, что этот интеграл существует, если и не имеют общих точек разрыва.
Теорема 10.3.8. Интеграл Римана–Стилтьеса (10.3.10) существует, если на отрезке [ , ] функция ( ) кусочно непрерывна, а функция ( ) имеет ограниченную вариацию и непрерывна в точках разрыва функции ( ).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда ( ) имеет на [ , ] одну точку разрыва (первого рода). Пусть это точка .
Если разрыв является неустранимым, то прибавив к ( ) функцию
{
( ) := 0 при 6 < ,
1 при 6 6 ,
умноженную на соответствующее число, можно получить непрерывную функцию, которая интегрируема по .
Функция интегрируема по , так как если принадлежит отрезку [ −1, ] разбиения , то
|
|
( , ) = ( )( ( ) − ( −1)) + |
=∑ |
( ( ) − ( −1)) = |
|
|
+1 |
= ( )( ( ) − ( −1)) + ( ) − ( ),