§ 8.4. Метод Остроградского интегрирования рациональных дробей

Интегрировать рациональную дробь ( )/ ( ), знаменатель которой имеет кратные корни, можно более простым способом, чем описанный в § 8.3. Его называют интегрированием методом Остроградского. Упрощения будут более значительными, когда кратность корней знаменателя ( ) велика.

Изложим метод Остроградского на примере правильной рациональной дроби

где > 1, > 1 и 2 + + > 0 при всех .

Согласно (8.3.3) интегрирование дробей (8.3.1) при > 1 да¨ет дроби, у которых показатель степени разности − в знаменателях на единицу меньше, чем у исходной дроби. В силу (8.3.4) интегрирование дробей (8.3.2) при > 1 да¨ет дроби, у которых показатель степени трехчлена 2 + + в знаменателе на единицу меньше.

Таким образом, интеграл от дроби (8.4.1) представляет собой сумму некоторой постоянной , логарифмов, арктангенсов и дро-

где 1( ) – многочлен, степень которого меньше +2 −3 (степени знаменателя), т.е. дробь (8.4.2) – правильная.

Так как логарифмы и арктангенсы появляются при интегрировании дробей (8.3.1) и (8.3.2), соответствующих = 1 и = 1, то

∫

( )

( − ) ( 2 + + )

=

1( )

= ( − ) −1( 2 + + ) −1 +

Коэффициенты многочлена 1( ) и числа , и можно найти методом неопредел¨енных коэффициентов. В самом деле, приравняем производные функций из обеих частей равенства

Привед¨ем дроби из (8.4.4) к общему знаменателю, который равен ( − ) ( 2 + + ) , и приравняем числители полученных дробей:

( ) = 1′( )( − )( 2 + + ) − 1( )( − 1)( 2 + + ) −

−1( )( − 1)(2 + )( − ) +

Так как дробь (8.4.2) правильная, степень многочлена 1( ) меньше или равна + 2 − 4. Запишем 1( ) как многочлен степени + 2 − 4 с неизвестными коэффициентами, число которых равно + 2 − 3. Тогда в правой части равенства (8.4.5) получим многочлен степени не выше + 2 − 1, коэффициенты которого являются линейными комбинациями + 2 − 3 коэффициентов многочлена 1( ) и чисел , , , т.е. всего + 2 неизвестных величин.

По предположению дробь (8.4.1) – правильная. Значит, степень многочлена ( ) меньше или равна + 2 − 1. Запишем( ) как многочлен степени + 2 − 1 (коэффициенты которого при старших степенях могут быть нулями).

Приравняв коэффициенты многочленов из левой и правой частей равенства (8.4.5) при степенях , = 0, 1, . . . , + 2 − 1, получим систему + 2 линейных уравнений с указанными выше+ 2 неизвестными.

Из сказанного в § 8.3 следует, что для каждого многочлена( ) справедливо равенство вида (8.4.3). Поэтому построенная

система линейных уравнений всегда разрешима и е¨ решение единственно.

Это показывает возможность применения метода неопредел¨енных коэффициентов при интегрировании рациональных дробей методом Остроградского.

Выигрыш в количестве проводимых при этом вычислений обусловлен тем, что сразу находят дробь вида (8.4.2), а не простейшие дроби в разложении дроби ( )/ ( ), которые затем ещ¨ нужно интегрировать.

§ 8.5. Интегрирование некоторых других выражений

Был подробно рассмотрен вопрос об интегрировании рациональных дробей. При¨емы, позволяющие находить неопредел¨енные интегралы, известны и для некоторых других элементарных функций. Привед¨ем несколько примеров, когда с помощью замен переменных задача сводится к интегрированию рациональных дробей.

Если ( ) – функция, полученная из sin , cos и чисел с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, то интеграл

∫

( )

можно привести к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки = tg( /2). В самом деле, в этом случае

и, так как = 2 arctg , то

2= 1 + 2 .

В результате указанной замены будут получены функции, преобразующиеся в рациональные дроби относительно переменной .

Иногда функцию ( ) рассмотренного вида можно привести к рациональной дроби с помощью более простых подстановок

= sin , = cos или = tg , но это возможно не для всех функций ( ). А замена = tg /2 является универсальной, всегда приводящей к цели.

Следующий пример – интегрирование дифференциального бинома

Положим

:= + 1 − 1

ипокажем, как бер¨ется интеграл

∫

( + ) ,

если и – рациональные числа и какое-либо из чисел , или+ целое.

Пусть – целое и = / , где – целое и – натуральное. Тогда после подстановки = получим интеграл

∫

( + ) −1 ,

в котором все показатели степени – целые числа и, значит, функция под знаком интеграла или многочлен или рациональная дробь.

Если – целое и = / , то в результате замены + = приходим к интегралу

и если = / , то делаем замену / + = , после которой, как и в других случаях, получаем интеграл от многочлена или от рациональной дроби.

Ещ¨е один пример – интегралы

∫

√

где тр¨ехчлен 2 + + на рассматриваемом промежутке положителен.

Замены переменной интегрирования, с помощью которых интеграл (8.5.2) приводится к интегралу от рациональной дроби, называют подстановками Эйлера.

Если > 0, то положим

√ √

2 + + = ± ,

где можно взять любой знак + или −. Тогда

√

2 + + = 2 ± 2 + 2.

Отсюда

2 −= 2√ ,

т.е. переменная и е¨ производная представляют собой рациональные дроби переменной .

Если > 0, то можно положить

и вновь получен интеграл от рациональной дроби.

Если многочлен 2 + + имеет действительные различные корни 1 и 2, то в результате замены

√

2 + + = ( − 1)

получим

2 + + = ( − 1)( − 2) = ( − 1)2 2,

откуда

= 2 1 − 2 .2 −

Эта подстановка приводит интеграл (8.5.2) к интегралу от рациональной дроби относительно переменной .

Интегралы от элементарных функций часто не являются элементарными функциями. Такие интегралы называют неберущимися.

Так, интеграл (8.5.1) представляет собой элементарную функцию только в тех случаях, когда целым является какое-либо из чисел , и + . Этот факт для рациональных , и установил П. Л. Чебышев, а затем он был доказан для любых действительных , и .

Некоторые неберущиеся интегралы играют важную роль и специально изучаются. Таковы, например, интеграл вероятностей

∫

− 2 ,

интегральные синус и косинус

Эти интегралы не являются элементарными функциями. Доказательство основывается на глубоких алгебраических результатах и выходит за рамки настоящего курса.