В метрологии различают измерения:

1. прямые (измеряемая величина оценивается по показаниям СИ);

2. косвенные(измеряемая величина находится по известной зависимости);

3. совокупные (совместные) - измеряемая величина определяется по нескольким одноимённым (нескольким разнооимённым) величинам;

4. неравноточные (измеряемая величина определяется по результатам ряда измерений с различной погрешностью).

По количеству измерительных актов:

Однократные и многократные (статистические);

Абсолютные измерения и относительные измерения;

По полноте оценивания - с полной апостериорной оценкой погрешности, с априорной оценкой;

Измерения делятся также на:

Прямые и косвенные;

Неравноточные;

Совокупные (совместные).

4.2 Однократное непосредственное измерение

4.2.1 Однократное непосредственное измерение постоянной величины осуществляется по процедуре [1]:

1. проверить условия измерения на соответствие планируемым;

2. выполнить при необходимости поверку и юстировку;

3. ввести измеряемую величину в СИ;

4. после завершения переходного процесса (затухания колебаний) снять показание СИ – черновой результат измерения;

5. определить скорректированный результат измерения4

6. определить полный результат измерения.

ПРИМЕР.

Аналоговый вольтметр, класс 0.5, диапазон 0…3В, шкала 150 делений, входное сопротивление 100 кОм. Выходное сопротивление измеряемой цепи 100 Ом.

Результат измерения напряжения: 51.3 деления.

1) черновой результат: Х* = 51.3 3/150 = 1.026 В.

1. Систематическая погрешность (методическая):

_сист = - R_вн / (R_вх +R_вн) ≈ - R_вн / R_вх = 0.001 U_изм

2. Скорректированный результат: Х*_к = 1.026 – (1.0260.001)  1.025 В

3. Случайная погрешность на уровне 3:

_{случ 1} = 0.510^-2  U_max = 0.015 B

6) Окончательный результат для доверительной вероятности Р=0.99:

Х* _0.99 = 1.025 0.015 В

(1.025 - 0.015) В=1.01В  Х* _0.99  (1.025 + 0.015)В=1.04В

4.2.2 Измерение нестационарных величин включает:

1. аналитическую запись измеряемого процесса;

2. либо определение характерного параметра временного процесса (максимального значения, координат процесса,…).

При этом возможны два случая;

1. результат измерения непрерывен, динамическая погрешность пренебрежимо мала;

2. динамическая погрешность не является пренебрежимо малой.

Коррекция динамической погрешности осуществляется [1]:

1. методами аппроксимации;

2. итерационными методами;

3. алгебраическими методами решения.

4.3 Статистические измерения

4.3.1 Цель многократных измерений следующая [1]:

1. повышение точности измерений;

2. исследование стабильности измеряемой величины;

3. исследование погрешностей.

В связи с целесообразностью отображения отклонения в тех же размерностях, что и случайная функция, понятие среднеквадратического отклонения применяется широко. СКО даёт возможность оценить вероятность того, что при единичном измерении случайная погрешность Р(δ)не превзойдёт некоторой заданной величиныε(неравенство Чебышева) [Бурдун]:

Р(|δ|>ε) <σ²_х /ε² ()

Кроме того, существуют центральный момент третьего порядка (отражает асимметрию функции плотности распределения) и центральный момент четвёртого порядка (отражает остроту пика функции плотности распределения).

Реальное распределение – это усечённое распределение, более «узкое», чем нормальное [6].

4.3.2 Черновой результат измерений:

_N

Х_ч = 1/N X_i (76)

¹

Каждый результат измерения содержит систематическую и случайную составляющие. _N

Х = 1/N X_i ± ∆_сист  _сл (77)

При оценке точности измерений МО и СКО рассматриваются как случайные величины, зависящие от числа измерений, в (78), можно говорить о среднем значении МО_σ и разбросе значений СКО, обнаруженном при данном количестве измерений:

 = МО_σ ± ∆_i (78)

СКО результирующей случайной погрешности (при Х=Const):

²_ = ²_i / N (79)

где _I - неизвестное СКО параметра.

То есть целью многократного измерения обычно является уменьшение случайной погрешности, если она мала, то смысла в серии измерений нет.

Многократные измерения также сказываются и на функции распределения результирующей случайной погрешности.

4.3.3 При исследовании объектов, характеризующихся случайным распределением параметров, результаты оценки зависят от количества измерений. То есть возникает вопрос о представительной выборке (репрезентативности выборки), которая определяется:

- уровнем доверительной вероятности Р_д =(1-α);

- предельно допустимой абсолютной случайной погрешностью ∆_доп (выбирается исследователем).

Значение доверительная вероятности (обычно α=0,1; 0.05; 0.01) определяет значение доверительного коэффициента Z_{1- α /2} (справочные данные). Тогда количество требуемых измерений:

N = (Z_{1- α /2} • σ)² / ∆²_доп (80)

Так, например, для доверительной вероятности Р_д=0.95 → Z_p=1.96≈2

Проблема - в оценке σ неизвестного процесса. Используются:

- априорные данные;

- результаты пилотажного исследования (по произвольной выборке);

- приближённые оценки (например, σ_х²=(X_max –X_min) /12 (даёт несколько завышенную оценку) и σ_х=(X_max –X_min) /6.

Можно использовать метод приближения – прекращать набор данных при отсутствии заметных изменений МО и СКО. Так, для МО применяется алгоритм экспоненциального сглаживания (усреднения), дающий рекуррентную оценку МО [Мирский]. После к-й выборки:

МО _к= МО _к-1+{X_k - МО _к-1} / F ()

где МО _к-1 – результат для предыдущей выборки;

F - коэффициент сглаживания (часто принимается F=2ⁿ или F=к - усреднение);

n-1<k<n

Оценка является состоятельной, если при увеличении числа измерений она приближается к истинному значению.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому значению.

Оценка является эффективной, если ей дисперсия меньше диспресии любой другой оыценки.

4.3.4 Так как извлечение корня – нелинейная функция, введение поправки в ссответствии с количеством измерений:

σ (x) = К_n √ [x_i  МО (х)]² / (n-1) (81)

где по справочным данным [Рабинович]:

К_n …….. 1.13 1.06 1.03 ………. и т.д.

n………. 3 5 10…………

Погрешность определения СКО в зависимости от числа измерений [Рабинович]:

n ……… 3 5 10 15

∆_σ …….. 50% 35% 24% 15%

4.3.5 В измерениях используют оценки по доверительным интервалам, между границами которых с определённой вероятностью (доверительной Р_д) находится истинное значение измеряемой величины (интервал, который с заданной вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины). Доверительный интервал – числовая характеристика, дающая представление о распределении случайной величины в объёме выборки.

(Не существует общепринятых принципов выражения доверительного интервала).

Вероятность попадания результата измерения в некоторый интервал [х₁, x₂]:

x₂ x₂

P{х₁<X< x₂}= ∫ P(x) dx=1/σ_x√2π • ∫e ^{– (x – MOх)2 /2σ2x} dx (82)

х₁ x₂

Заменив переменные:

(х – МO_х) /σ_x = t; (х₁ – МO_х) /σ_x = t₁; (х₂ – МO_х) /σ_x = t₂;

Значение (82) вычисляется с помощью дифференциальной и интегральной функций нормированного распределения Ф(z):

P { х₁<X< x₂}= P { МО_х - t_р σ_х<X< МО_х + t_рσ_х }=Ф[(х₁ – МO_х) /σ_x] – Ф[(х₂ – МO_х) /σ_x ]=

=Ф(t₁) – Ф(t₂)= Ф(t_р) – Ф(-t_р)=2Ф(t_p) -1 (83)

Это означает, что истинное значение измеряемой величины с доверительной вероятностью Р= 2Ф(t_p) -1 находится между границами оверительного интервала ± t_p σ_x.

Ф(t_p)= (1+P)/2 (84)

ПРИМЕР

Доверительная вероятность – Р_д=0.95 (0.9).

Тогда: Ф(t_p)=(1+0.95)/2=0.975 (0.95)

По справочным данным: t_p=2 (1.64)

Следовательно, интервал: 2 σ_x (1.64 σ_x)

Для Рд=0.997 → Ф(t_p)=0.9985 → t_p=3.0 →3 σ_x

Р(x)

Хmin MO Xmax X

1.64σ (0.90)

2σ (0.95)

3σ (0.99)

Рисунок 7 – Плотность распределения случайной функции.

Так, при выборке n→∞ вероятность ошибки в интервале (- α…+α). Функция достоверности:

Р (- α<∆< +α) =Ψ(α/σ) (82)

Можно строить доверительные интервалы по распределению случайной величины Стьюдента с учётом количества измерений:

t= (X – МО) /S_x (82)

гдеS=σ/√n - оценка СКО.

То есть сходимость результатов растёт пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Доверительный интервал [X-tS_x; X+tS_x] отвечает вероятности:

Р | X±tS_x | ≤ tS_x= α (83)

Значение t находится по справочным данным:

n-1 1 5 10 ∞

q=1-α=0.01 63.66 4.03 3.17 2.58

q=0.05 12.71 2.57 2.23 1.96

q=0.1 6.31 2.02 1.81 1.64

Оценка при малых выборках от числа измерений: Ψ(α/σ, n). Доверительные оценки СКО (таблица 2):

Ψ( n=2)≈0,705; Ψ( n=4)≈0,861; Ψ( n=8)≈0,914; Ψ( n=20)≈0,95 .

Таблица 2 – Поправки на оценку СКО

n	2	…	4	…	10	…	15	30…50
Рд	0.705	…	0.861	…	0.91	…	…	0.99
Kn	12.7	…	3.2	…	2.3	…	2.1	≈ 1

Результат многократных измерений можно интерпретировать как увеличение доверительной вероятности интервала погрешности. Однако точность повышается с увеличением числа измерений медленно, поэтому на практике даже при высоких требованиях к точности делают 30-50 отсчётов измерений.

ПРИМЕР

Число измерений n=10: σ_расч (Р_д=0.91) = ± 0.1; S= σ_расч ●2.3 = ± 0.23;

4.3.5 Иногда определяют доверительный интервал для СКО. Для этого с учётом поправок количество измерений можно воспользоваться коэффициентом Стьюдента или распределением ² , которое учитывает некоторую асимметрию результатов расчёта [6]. Доверительные интервалы для СКО:

Рд = Р _р  n-1 / _{н ……} _р  n-1 / в  (81)

где _р – полученное по формуле (4) значение СКО;

_н - нижняя граница, найденная для Рв = (1-Р_д ) / 2 ;

_в - верхняя граница, найденная для Рв = (1+Р_д ) / 2 .

ПРИМЕР.

По обработке результатов эксперимента c числом измерений n =10 получено  = 1.2 10 ^–5.

Примем Рв = 0.90.

1) Нижняя и верхняя границы; Рн = (1-Рд ) / 2 = (1-0.9)/2 = 0.05;

Рв = (1+Рд ) / 2 = (1+0.9)/2 = 0.95.

2) Число степеней свободы к = n-1 = 9.

3) По справочным данным [Рабинович] находим ²_н= 16.919 (_н= 4.12);

²_в= 3.325 (_в= 1.82).

3) По формуле (24) интервал изменения СКО:

_min =1.210 ^–5   10-1/ 4.12 = 0.88 10 ^–5    1.2 10 ^–5  10-1/ 1.82 = 2.0 10 ^–5= _max

4.3.6 Интервал случайной величины, в котором с заданной вероятностью α содержится не менее чем заданная часть всей совокупности случайной величины, называется толерантным. Границы толерантного интервала:

L=МО_х ± T σ ()

где T – толерантный множитель.

ПРИМЕР

Результаты обработки n=5 измерений длины стержня:

МО_х=15.785 мм; σ_х = 0.005 мм

Какова вероятность того, что длина стержня будет отличаться от МО на ∆p=0.01 мм?

1 Дробь Стьюдента: t_р = ∆p / σ_x = 0.01 / 0.005=2;

2 Число степеней свободы: к = n – 1= 4;

3 По справочным данным при t_р = 2; к=4 → Р=0.884 → 88.4%

к 1 2 3 4 …

T (t_р=2) 0.705 0.816 0.860 0.884

T (t_р=2.5) 0.758…………………………0.933