Teoria_veroyatnostey

wWEDENIE

pONQTIE WEROQTNOSTI WOSHODIT K DREWNIM WREMENAM, ONO BYLO IZ- WESTNO UVE ANTI^NYM FILOSOFAM. mYSLX O TOM, ^TO ZAKONY PRIRODY PROQWLQ@TSQ ^EREZ MNOVESTWO SLU^AJNYH SOBYTIJ, WPERWYE WOZNIKLA U DREWNEGRE^ESKIH MATEMATIKOW. oNA PODROBNO IZLOVENA W PO\ME lUK- RECIQ kARA "o PRIRODE WE]EJ". oDNAKO PRINQTO S^ITATX, ^TO TEORIQ WEROQTNOSTEJ - SRAWNITELXNO MOLODAQ WETWX MATEMATIKI. eE RAZWITIE, KAK SAMOSTOQTELXNOJ NAUKI, NA^ALOSX S PEREPISKI pASKALQ I fERMA W 1656 GODU I BYLO SWQZANO S RE[ENIEM ZADA^, WOZNIKA@]IH W AZARTNYH IGRAH. |TI ZADA^I NE UKLADYWALISX W RAMKI SU]ESTWOWAW[IH TOGDA MATEMATI^ESKIH MODELEJ I STIMULIROWALI WWEDENIE NOWYH PODHODOW I IDEJ.

w KONCE PRO[LOGO I NA^ALE \TOGO WEKA STALI POQWLQTXSQ BOLEE SERX- EZNYE ZADA^I ESTESTWOZNANIQ (TEORIQ O[IBOK NABL@DENIJ, TEORIQ STRELX- BY, PROBLEMY STATISTIKI), KOTORYE PRIWELI K DALXNEJ[EMU RAZWITI@ TEORII WEROQTNOSTEJ.

oSNOWNYM OB_EKTOM IZU^ENIQ TEORII WEROQTNOSTEJ QWLQ@TSQ SLU- ^AJNOSTX ILI NEOPREDELENNOSTX, SWQZANNAQ S NEZNANIEM. kLASSI^ESKIJ PRIMER - WYPADENIE GERBA PRI PODBRASYWANII MONETY. nO ESLI RAS- SMATRIWATX SLU^AJNYE QWLENIQ MASSOWOGO HARAKTERA, TO OKAZYWAETSQ, ^TO I ZDESX DEJSTWU@T OPREDELENNYE ZAKONOMERNOSTI. pO\TOMU KOROT- KO MOVNO SKAZATX, ^TO TEORIQ WEROQTNOSTEJ IZU^AET ZAKONOMERNOSTI W SLU^AJNYH QWLENIQH.

3

gLAWA 1

sLU^AJNYE SOBYTIQ

1.1 sTOHASTI^ESKIE \KSPERIMENTY. pROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ

iSHODNYMI PONQTIQMI TEORII WEROQTNOSTEJ QWLQ@TSQ PONQTIQ STO- HASTI^ESKOGO \KSPERIMENTA I PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH SOBYTIJ. sTO- HASTI^ESKIMI NAZYWA@TSQ \KSPERIMENTY, REZULXTATY KOTORYH NELXZQ PREDUGADATX ZARANEE. gOWORQ OB \KSPERIMENTE W TEORII WEROQTNOSTEJ, MY NE INTERESUEMSQ EGO TEHNI^ESKOJ STORONOJ, A TOLXKO TEM, KAKIE SOBYTIQ W \TOM \KSPERIMENTE MOGUT NABL@DATXSQ I ^TO W REZULXTA- TE PROWEDENNOGO \KSPERIMENTA DEJSTWITELXNO NABL@DALOSX. pRIMERY STOHASTI^ESKIH \KSPERIMENTOW: BROSANIE MONETY, BROSANIE IGRALXNOJ KOSTI, PROWEDENIE LOTEREI, AZARTNYE IGRY, STRELXBA PO CELI, POSTUP- LENIE ZWONKOW NA TELEFONNU@ STANCI@.

kAVDOMU STOHASTI^ESKOMU \KSPERIMENTU MOVNO POSTAWITX W SOOT- WETSTWIE NEKOTOROE MNOVESTWO , KOTOROE SODERVIT POLNU@ INFORMA- CI@ O PREDPOLAGAEMYH REZULXTATAH PRI PROWEDENII \TOGO \KSPERIME- TA. rEZULXTATY \KSPERIMENTA BUDEM NAZYWATX \LEMENTARNYMI SOBYTI- QMI (ILI \LEMENTARNYMI ISHODAMI). |LEMENTARNYE SOBYTIQ (ISHODY) DOLVNY BYTX WZAIMOISKL@^A@]IMI I RAWNOWOZMOVNYMI. tAKOE MNO- VESTWO BUDEM NAZYWATX PROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH SOBYTIJ.

pRIMER 1. oDIN RAZ BROSA@T MONETU. pROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ \TOGO \KSPERIMENTA IMEET WID = fg,rg, GDE BUKWA g OZNA^A- ET POQWLENIE GERBA, BUKWA r - POQWLENIE RE[KI.

pRIMER 2. bROSA@T [ESTIGRANNU@ IGRALXNU@ KOSTX. nAS INTERE- SUET ^ISLO WYPAW[IH O^KOM. pROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH SOBYTIJ ZDESX BUDET MNOVESTWO = f1; 2; 3; 4; 5; 6g

4

pRIMER 3. wYNIMAEM KARTY IZ KOLODY, SODERVA]EJ 36 IGRALXNYH KART. zDESX BUDET SOSTOQTX IZ 36 \LEMENTARNYH SOBYTIJ, KAVDOE IZ KOTORYH ESTX ODNA FIKSIROWANNAQ KARTA.

w PRIWEDENNYH PRIMERAH PONQTIE RAWNOWOZMOVNOSTI \LEMENTARNYH SOBYTIJ OZNA^AET, ^TO ESLI WZQTA MONETA, TO ONA DOLVNA BYTX "PRA- WILXNOJ", T.E. EE CENTR TQVESTI DOLVEN SOWPADATX S CENTROM SIMMET- RII, TO VE OTNOSITSQ I K IGRALXNOJ KOSTI; A W KOLODE NE DOLVNO BYTX ME^ENNYH KART.

w RASSMATRIWAEMYH PRIMERAH PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOWBYLO KONE^NYM MNOVESTWOM. nO WO MNOGIH ZADA^AH TEORII WEROQTNOS- TEJ PRIHODITSQ IMETX DELO S \KSPERIMENTAMI, IME@]IMI BESKONE^NOE ^ISLO ISHODOW.

pRIMERY 4. nAUDA^U WYBIRA@T L@BOE NATURALXNOE ^ISLO. dANNOE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW QWLQETSQ BESKONE^NYM S^ETNYM MNOVESTWOM.

pRIMER 5. sTRELOK STRELQET PO KRUGLOJ MI[ENI, NAS INTERESUET TO^KA, W KOTORU@ POPALA PULQ. w KA^ESTWE PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH SOBYTIJ MOVNO PRINQTX MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ TO^EK RASSMATRIWA- EMOGO KRUGA I ODNOJ DOPOLNITELXNOJ TO^KI O, OBOZNA^A@]EJ NEPOPA- DANIE STRELKA W MI[ENX. dANNOE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW QWLQETSQ BESKONE^NYM NES^ETNYM MNOVESTWOM.

iZ PRIWEDENNYH WY[E PRIMEROW QSNO, ^TO MOVNO RASSMATRIWATX RAZLI^NYE TIPY PROSTRANSTW \LEMENTARNYH SOBYTIJ W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKOE ^ISLO \LEMENTOW ONI SODERVAT:

1 TIP: QWLQETSQ KONE^NYM MNOVESTWOM.

2 TIP: QWLQETSQ BESKONE^NYM S^<TNYM MNOVESTWOM.

3 TIP: QWLQETSQ BESKONE^NYM NES^<TNYM MNOVESTWOM.

zADA^I

oPI[ITE PROSTRANTSWA \LEMENTARNYH SOBYTIJ UKAZANNYH NIVE STO- HASTI^ESKIH \KSPERIMENTOW.

1.sIMMETRI^NAQ MONETA PODBRASYWAETSQ 2 RAZA.

2.oDNOWREMENNO BROSA@T 3 MONETY.

3.nAUGAD WYBIRAETSQ ^ISLO IZ NATURALXNOGO RQDA.

4.w URNE BELYH I ^ERNYH [AROW. iZ URNY WYNIMAETSQ [AR.

5.w KWADRATE [0,1]x[0,1] NAUDA^U BROSAETSQ TO^KA.

6.dWA ^ELOWEKA USLOWILISX WSTRETITXSQ W INTERWALE WREMENI [0, T]

5

1.2sLU^AJNYE SOBYTIQ

oPREDELENIE. pODMNOVESTWO PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH SOBY- TIJ NAZYWAETSQ SLU^AJNYM SOBYTIEM.

sOBYTIE MOVET SOSTOQTX IZ ODNOGO ILI NESKOLXKIH \LEMENTARNYH ISHODOW, A TAK VE MOVET SOSTOQTX IZ S^ETNOGO ILI NES^ETNOGO ^ISLA \LEMENTARNYH ISHODOW. sOBYTIQ BUDEM OBOZNA^ATX ZAGLAWNYMI LATIN- SKIMI BUKWAMI A, B, C.

pRIMERY 1. mONETU BROSA@T DWAVDY, SLU^AJNOE SOBYTIE A SOSTO-

IT W TOM, ^TO HOTQ BY ODIN RAZ POQWITSQ GERB. tOGDA = f gg, gr, rg, rr g; A = f gg, gr, rg g

pRIMER 2. sLU^AJNYM OBRAZOM WYBRANO NATURALXNOE ^ISLO. pUSTX | SOBYTIE, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO WYBRANO ^<TNOE ^ISLO. tOGDA =

f1; 2; 3; : : :g; A = f2; 4; : : :g:

pRIMER 3. pUSTX ESTX PROWOLOKA DLINOJ 1 METR. rASTQGIWA@T EE ZA KONCY, W REZULXTATE ^EGO PROISHODIT RAZRYW W KAKOJ-TO TO^KE. mNO- VESTWO - \TO WSE TO^KI NA PROWOLOKE, KOTORYE MATEMATI^ESKI MOVNO

ZADATX OTREZKOM [0,1]. pUSTX SOBYTIE A SOSTOIT W TOM, ^TO RAZRYW PRO- IZO[EL BLIVE K LEWOMU KONCU. tOGDA A = [0; 12).

tAK KAK SLU^AJNOE SOBYTIE ESTX PODMNOVESTWO MNOVESTWA , TO DLQ NIH TAKVE MOVNO WWESTI NEKOTORYE OPERACII. pRIWEDEM TABLICU, SWQ- ZYWA@]U@ PONQTIQ TEORII WEROQTNOSTEJ I TEORII MNOVESTW.

6

pRODOLVENIE TABLICY.

pRIMER 4.

bROSAEM IGRALXNU@ KOSTX. pUSTX SOBYTIE A - WYPALO ^ETNOE ^ISLO, SOBYTIE B - WYPALO ^ISLO KRATNOE TREM.

tOGDA: A + B = f2; 4; 6g + f3; 6g = f2; 3; 4; 6g - WYPAW[EE ^ISLO DE- LITSQ ILI NA 2, ILI NA 3. A B = f2; 4; 6g f3; 6g = f6g ^ISLO DELITSQ I

7

^ISLO NE^ETNOE.

A n B = f2; 4g - ^ISLO ^ETNOE, NO NA 3 NE DELITSQ.

pRIWEDENNYE OPERACII NAD SOBYTIQMI OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJ- STWAMI:

1. A + B = B + A:

2. A B = B A:

3. A + A = :

4. A = A:

5. A B A:

6. A n A = ;:

7. A = A:

8. (A + B) C = A C + Bi C:

|TI SWOJSTWA NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ OPREDELENIQ OPERACIJ NAD SOBYTIQMI.

zADA^I

1.kOGDA WOZMOVNY RAWENSTWA: A + B = A; A B = A?

2.iZ MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N NAUGAD WZQTO ODNO ^ISLO.

~TO OZNA^A@T SOBYTIQ A; B; A + B; A B; A ; B; A B? 3. sOWMESTNY LI SOBYTIQ A I A + B?

4. dOKAZATX, ^TO A B = A + B:

5. |LEKTRI^ESKAQ CEPX MEVDU TO^KAMI M I N PRIWEDENA NA SHEME:

sOBYTIE A - WYHOD IZ STROQ \LEMENTA ai, GDE i = 1; 2; 3; 4: pUSTX SOBYTIE C - RAZRYW CEPI. zAPISATX C I C ^EREZ Ai, GDE i = 1; 2; 3; 4:

8

1.3 kLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SLU- ^AJNOGO SOBYTIQ

w PROCESSE RAZWITIQ TEORII WEROQTNOSTEJ, KAK MATEMATI^ESKOJ DIS- CIPLINY, BYLI SFORMULIROWANY NESKOLXKO OPREDELENIJ WEROQTNOSTI SLU^AJNOGO SOBYTIQ. |TO BYLO SWQZANO S TEM, ^TO, KAK UKAZYWALOSX WY[E, SU]ESTWUET 3 TIPA PROSTRANSTW \LEMENTARNYH SOBYTIJ. i DLQ KAVDOGO SLU^AQ BYLO DANO SWOE OPREDELENIE.

kLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SLU^AJNOGO SOBYTIQ PREDPO- LAGAET, ^TO PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW QWLQETSQ KONE^NYM MNOVESTWOM.

oPREDELENIE. wEROQTNOSTX@ P(A) SLU^AJNOGO SOBYTIQ A NAZY- WAETSQ OTNO[ENIE ^ISLA ISHODOW, BLAGOPRIQTSTWU@]IH SOBYTI@ A, K ^ISLU WSEH WOZMOVNYH ISHODOW STOHASTI^ESKOGO \KSPERIMENTA

P (A) = mn

m - ^ISLO BLAGOPRIQTNYH ISHODOW (T.E. ^ISLO \LEMENTOW PODMNOVES- TWA A), n - ^ISLO WSEH ISHODOW (T.E. ^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA ).

pRIMERY 1.

w URNE NAHODQTSQ l BELYH I k ^ERNYH, I r SINIH [AROW. nAUDA^U WY- NIMAEM ODIN [AR. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TOT [AR BUDET BELYJ.

rE[ENIE. ~ISLO WSEH WOZMOVNYH ISHODOW DANNOGO \KSPERIMENTA RAWNO n = l+k+r - KOLI^ESTWO WSEH [AROW W URNE. ~ISLO BLAGOPRIQTNYH ISHODOW RAWNO m = l - KOLI^ESTWO BELYH [AROW. pUSTX SOBYTIE A - WYNULI BELYJ [AR. tOGDA P (A) = l+kl+r .

pRIMER 2. kUB, WSE GRANI KOTOROGO OKRA[ENY, RASPILEN NA TYSQ^U KUBIKOW ODINAKOWOGO RAZMERA. pOLU^ENYE KUBIKI T]ATELXNO PEREME[A- NY. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO KUBIK, IZWLE^ENNYJ NAUDA^U, BUDET IMETX DWE OKRA[ENYE STORONY.

rE[ENIE. wSEGO KUBIKOW n = 1000: kUB IMEET 12 REBER, NA KAVDOM

IZ KOTORYH PO 8 KUBIKOW S DWUMQ OKRA[ENYMI STORONAMI. pO\TOMU

P(A) = mn = 0:096. zADA^I

1. sLU^AJNO WYBRANNAQ KOSTX DOMINO OKAZALASX NE DUBLEM. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO WTORU@ TAK VE WZQTU@ NAUDA^U KOSTX DOMINO MOVNO PRISTAWITX K PERWOJ.

9

2.sIMMETRI^NU@ IGRALXNU@ KOSTX BROSA@T DWAVDY. pUSTX SOBY- TIE A SOSTOIT W TOM, ^TO SUMMA WYPAW[IH O^KOM RAWNA 5. nAJTI P(A):

3.cIFRY 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 NAPISANY NA KARTO^KAH, KOTO- RYE T]ATELXNO PEREME[ANY. pROIZWOLXNYM OBRAZOM WYNIMA@TSQ TRI KARTO^KI PODRQD I KLADUTXSQ WRQD. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ^IS- LO, SOSTAWLENOE IZ TREH CIFR, KOTORYE NAPISANY NA KARTO^KAH, BOLX[E

587?

4. iZ KOLODY W 36 KART WYNIMAETSQ ODNA KARTA. nAJTI WEROQTNOSTX POQWLENIQ KARTY PIKOWOJ MASTI.

1.4|LEMENTY KOMBINATORIKI

kOMBINATORNYM ANALIZOM (KOMBINATORIKOJ) NAZYWAETSQ RAZDEL MA- TEMATIKI, RASSMATRIWA@]IJ ZAKONY O RAZME]ENII OB_EKTOW W SOOT- WETSTWII SO SPECIALXNYMI PRAWILAMI I NAHOVDENII ^ISLA SPOSOBOW, KOTORYMI \TO MOVET BYTX SDELANO. mETODY KOMBINATORIKI IGRA@T WAVNU@ ROLX PRI WY^ISLENII KLASSI^ESKIH WEROQTNOSTEJ.

iZLOVIM OSNOWNYE PONQTIQ KOMBINATORIKI.

oPREDELENIE. mNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ RAZLI^NYH n \LEMENTOW BUDEM NAZYWATX n-MNOVESTWOM (WSE \LEMENTY MNOVESTWA RAZLI^NY MEVDU SOBOJ)

rASSMOTRIM SLEDU@]U@ ZADA^U: IZ GORODA A W GOROD B WEDUT 2 DORO- GI, A IZ GORODA B W GOROD C WEDUT 3 DOROGI. kAKIM ^ISLOM RAZLI^NYH PUTEJ MOVNO SOWER[ITX PUTE[ESTWIE IZ GORODA A W GOROD C ^EREZ GOROD B? o^EWIDNO, ^TO TAKIH PUTEJ RAWNO 2 3 = 6:

pRIWEDENNAQ ZADA^A HORO[O ILL@STRIRUET OSNOWNOJ PRINCIP KOMBI- NATORIKI - PRAWILO UMNOVENIQ, KOTORYM MY ^ASTO POLXZUEMSQ W VIZNI. sFORMULIRUEM EGO W WIDE TEOREMY.

tEOREMA (OSNOWNOJ PRINCIP KOMBINATORIKI). pUSTX IMEET-

SQ n1 MNOVESTWO; n2 MNOVESTWO; nk MNOVESTWO. ~ISLO RAZLI^NYH KOMBINACIJ NABOROW \LEMENTOW WIDA (a1; a2; : : : ; ak), GDE a1 NEKOTORYJ \LEMENT IZ n1 MNOVESTWA, a2 - NEKOTORYJ \LEMENT n2

: : :, ak - NEKOTORYJ \LEMENT nk MNOVESTWA RAWNO n1 n2 : : : nk.

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII. pUSTX k = 2; TO ESTX n1 MNOVESTWO I n2 MNOVESTWO. rASSMOTRIM RAZ- LI^NYE PARY (a1; a2), DLQ \TOGO SOSTAWIM PRQMOUGOLXNU@ TABLICU TAK,

10

^TO \LEMENTY n1 MNOVESTWA ZAPI[EM W STROKU, A \LEMENTY n2 MNOVES- TWA W STOLBEC:

kAVDAQ IZ PAR (a1i ; a2j ), i = 1; 2; : : : ; n1; j = 1; 2; : : : ; n2 WSTRE^AETSQ W \TOJ TABLICE TOLXKO ODIN RAZ, O^EWIDNO, ^TO ^ISLO TAKIH PAR RAWNO

PROIZWEDENI@ n1 n2.

pREDPOLOVIM, ^TO TEOREMA WYPOLNENA DLQ k = r; DOKAVEM EE DLQ k = r+1: pERWYE r \LEMENTOW MOVNO RASSMATRIWATX KAK ODIN \LEMENT WIDA

b1 = (a1; a2; : : : ; ar). pO PREDLOVENI@ ^ISLO RAZLI^NYH \LEMENTOW \TOJ

GRUPPY RAWNO m = n1 n2 : : : nr. l@BOJ \LEMENT (a1; a2; : : : ; ar+1) IZ GRUP- PY, SOSTOQ]EJ IZ r + 1 \LEMENTA, PREDSTAWIM W WIDE (a1; a2; : : : ; ar+1) =

(b1; ar+1). iSPOLXZUQ POLU^ENNU@ FORMULU DLQ SLU^AQ 2-x MNOVESTW, POLU^IM, ^TO KOMBINACIJ \LEMENTOW WIDA (a1; a2; : : : ; ar+1) OPREDELQET-

SQ RAWENSTWOM N = m nn+1 = n1 n2 : : : nr+1. zNA^IT, FORMULA O ^ISLE \LEMENTOW WERNA I DLQ k = r + 1: tEOREMA DOKAZANA.

pUSTX IMEETSQ n-MNOVESTWO, IZ NEGO MOVNO OSU]ESTWITX WYBOR \LE- MENTOW, SOBL@DAQ RAZLI^NYE USLOWIQ:

1)U^ITYWATX LIBO NE U^ITYWATX PORQDOK WYBORA \LEMENTOW;

2)WOZWRA]ATX LIBO NE WOZWRA]ATX \LEMENT NAZAD W n-MNOVESTWO. oPREDELENIE. sOWOKUPNOSTX k-WYBRANNYH \LEMENTOW IZ n-MNO-

VESTWA BUDEM NAZYWATX k-WYBORKOJ.

wY[E BYLO SKAZANO, ^TO k-WYBORKA MOVET BYTX SFORMIROWANNA RAZ- LI^NYM OBRAZOM, PO\TOMU MOVNO WYDELITX 4 KLASSA k-WYBOROK. dLQ NAGLQDNOSTI PREDSTAWIM \TO W WIDE TABLICY.

oPREDELENIE. K-WYBORKU IZ n-MNOVESTWA S U^ETOM PORQDKA SLE-

11

DOWANIQ \LEMENTOW BEZ WOZWRA]ENIQ NAZYWA@T RAZME]ENIEM IZ n \LE-

MENTOM PO k (O^EWIDNO, ZDESX k n) I OBOZNA^A@T SIMWOLOM Akn.

pRIMER 1. tREHZNA^NYE NOMERA MA[IN BEZ ODINAKOWYH CIFR ESTX WYBOR BEZ WOZWRA[ENIQ S U^ETOM PORQDKA 3 \LEMENTA IZ 10, TO ESTX

RAZME]ENIE IZ 10 PO 3 { A310.

pRIMER 2. {ESTIZNA^NYJ TELEFONNYJ NOMER IZ RAZLI^NYH CIFR

ESTX A610

kRAJNIJ SLU^AJ, KOGDA k = n, ESTX PROSTO PERESTANOWKA \LEMENTOW W n-MNOVESTWE, ZA TAKOJ n-WYBORKOJ ESSTESTWENNYM OBRAZOM ZAKREPLENO I NAZWANIE n-PERESTANOWKA I OBOZNA^A@T EE SIMWOLOM Pn.

pRIMER 3. rASPISANIE SDA^I \KZAMENOW PO 5 PREDMETAM ESTX 5-

PERESTANOWKA, T. E. P5.

nAJDEM ^ISLO WOZMOVNYH RAZLI^NYH RAZME]ENIJ Akn I PERESTANOWOK Pn. bUDEM OBOZNA^ATX \TO ^ISLO TEM VE SIMWOLOM.

pRIMERY 4. w KLASSE IZU^A@T DESQTX PREDMETOW. w PONEDELXNIK 6 UROKOW, PRI^EM WSE UROKI RAZLI^NYE. sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO SOSTAWITX RASPISANIE NA PONEDELXNIK?

rE[ENIE. rASPISANIE ESTX A610. tOGDA A610 = 10!4! = 151200.

oPREDELENIE. K-WYBOROKU IZ n-MNOVESTWA S U^ETOM SLEDOWANIQ \KZAMENOW S WOZWRA]ENIEM NAZYWA@T RAZME]ENIEM S WOZWRA]ENIEM (ILI S POWTORENIEM) IZ n \LEMENTOW PO k I OBOZNA^A@T SIMWOLOM Bnk (O^EWIDNO, ZDESX K-L@BOE, T.E. k n ILI k > n).

pRIMER 5. sLOWO "MAMA" { ESTX RAZME]ENIE S WOZWRA]ENIEM IZ 33 \LEMENTOW PO 4 { B334 (T. K. W RUSSKOM ALFAWITE 33 BUKWY). nAJD<M ^ISLO RAZME]ENIJ

tEOREMA 2. Bnk = nk.

dOKAZATELXSTWO. kAVDOE RAZME]ENIE c WOZWRA]ENIEM MOVNO PRED- STAWITX KAK KOMBINACI@ k-\LEMENTOW IZ n-MNOVESTWA, n-MNOVESTWA, ...,

12