3) , СобытияAиBнесовместны,следовательно,.

Ответ.1) Вероятность того, что обе извлеченные детали окажутся окрашенными, равна;

2)вероятность того, что одна деталь окажется окрашенной, а другая неокрашенной, равна ;

3) вероятность того, что хотя бы одна из двух деталей окажется окрашенной, равна .

Задача № 4.

Имеются три одинаковые с виду урны.

Первая урна содержит 3 белых и 4 черных шара, вторая урна – 3 белых и 17 черных шаров, третья урна – 15 белых и 11 черных шаров.

1. Найти вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым.

2. Из наудачу выбранной урны вынули белый шар. Какова вероятность того, что шар вынут из:

а) первой,

б) второй,

в) третьей урны?

Решение.

1) Опыт – наугад выбирают урну и из нее вынимают один шар. Результат опыта – событиеА– «вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым». Вероятность этого события зависит от того, из какой урны – первой, второй или третьей – будет извлечен шар. Т.к. по условию задачи это неизвестно, выдвигаем гипотезы:

- «выбрана первая урна»,

- «выбрана вторая урна»;

- «выбрана третья урна».

Тогда вероятность событияАвычисляется по формуле полной вероятности:

.

По условию задачи, учитывая, что урны одинаковые, получаем, что вероятности гипотез равны:

, ,.

События ,и- «вынутый шар окажется белым при условии, что предварительно будет выбрана первая урна», «вынутый шар окажется белым при условии, что предварительно будет выбрана вторая урна» и «вынутый шар окажется белым при условии, что предварительно будет выбрана третья урна» соответственно. По условию задачи:

; ;.

Тогда вероятность событияАравна:

.

2) Известно, что из наугад выбранной урны вынули белый шар, т.е. что произошло событие А. Требуется найти вероятность того, что белый шар вынут из а) первой, б) второй, в) третьей урны. Т. е. вероятность того, что на происхождение событияАповлияло событие а); б); в), т.е. найти вероятность события а), б), в). Для вычисления вероятностей указанных событий применим формулу Байеса:

.

Учитывая все известные данные по условию задачи, получаем:

а) ;

б);

в)

Таким образом, вероятности того, что белый шар вынут из а) первой, б) второй, в) третьей урны, соответственно равны: а) , б), в).

Ответ:

1) Вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым, равна;

2) вероятности того, что белый шар вынут из а) первой, б) второй, в) третьей урны, соответственно равны:а) , б), в).

Задача № 5Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна(i- две последние цифры шифра студента,например,i=83,P=0.683).

1. Определить вероятность того, что:

а) объект будет поражен к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз;

б) число попаданий в объект будет не менее трех;

в) число попаданий в объект не более трех;

г) объект будет поражен хотя бы один раз.

2. Получить ряд распределения и построить многоугольник распределения случайной величины X-числа попаданий в объект.

3. Получить функцию распределения случайной величины Xи построить ее график.

4. Определить вероятнейшее число попаданий в объект по графику и по формуле.

5. Определить вероятность того, что число попаданий в объект будет заключено в пределах от 2 до 5.

6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в объект.

Решение:

1. Определить вероятность того, что:

- вероятность промаха при одном выстреле;

а) объект поражен к=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз;

б) С – число попаданий в объект будет не менее трех:

в) D– число попаданий в объект будет не более трех:

г) N– объект будет поражен хотя бы один раз;

- ни одного попадания не будет;

2. Получить ряд распределения и построить многоугольник распределения случайной величины X-числа попаданий в объект.

Х	0	1	2	3	4	5	6
Р	Р(k=0)	Р(k=1)	Р(k=2)	Р(k=3)	Р(k=4)	Р(k=5)	Р(k=6)
p	0.0010	0.013	0.070	0.203	0.328	0.282	0.101

3. Построим функцию распределения и построим ее график:

4. Определим вероятнейшее число попаданий в объект по графику и по формуле:

По графику видно, что наивероятнейшее число kравно 4.

5. Определим вероятность того, что число попаданий в объект будет заключено в пределах от 2 до 5

6. Найдем математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Задача №6Функция распределения случайной величиныХзадана выражением:

Найти:

1. плотность вероятности f(x);

2. математическое ожидание M_X;

3. среднее квадратическое отклонение ;

4. вероятность попадания в интервал ( 0 ; i/2 ), (i-номер варианта).

Решение:

1) плотность вероятности f(x) есть первая производная от функции распределения:

2) математическое ожидание М(х):

3) среднее квадратическое отклонение (х):

4) вероятность попадания в интервал (0; 3/2):

Задача№ 7Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величиныХсоответственно равны10 мм и2мм. Найти вероятность того, что:

1. в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (a ,b );

2. величина Хпримет значение меньше, чемb.

№варианта	a (мм)	b (мм)	№ вар.	a (мм)	b (мм)
1	12	14	6	6	10
2	10	15	7	4	8
3	8	12	8	6	12
4	8	14	9	6	14
5	10	14	10	4	10

Решение:

1) В результате

Применим формулу:

2) Величина Х примет значение меньше, чем :

Задача № 8

Для случайного вектора ,образующего систему случайных величин, известна ковариационная матрица, элементы которой каждому студенту следует сформировать на основе матрицы, - вычеркнув из нее i-ю строкуиi-й столбец (i —номер варианта).

1.Определить, чему равны средние квадратические отклонения случайных величин X_i, входящих в систему.

2. Установить, какие случайные величины X_iсистемы коррелированны, а какие не коррелированы.

3. Получить матрицу коэффициентов корреляции вектораХ₉₁.

Решение:

1.Определить, чему равны средние квадратические отклонения случайных величин X_i, входящих в систему.

2. Установить, какие случайные величины X_iсистемы коррелированны, а какие не коррелированы.

Если К(Х, Y) = 0, то случайные величиныXиYназываются некоррелироваными. ЕслиK(X,Y) ≠ 0, то говорят, что случайные величиныXиYкоррелированы.Для нашей матрицы случайные величины являются некоррелированными:

Все остальные случайные величины являются коррелированными.

3. Получить матрицу коэффициентов корреляции вектораХ₉₁.

Коэффициент корреляции определяется по формуле: