Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирская государственная геодезическая академия

Кафедра вычислительной математики

Контрольные работы

по

теории вероятностей и математической статистики

Выполнил: студент группы 2ПГ

Шинко М.П.

Зачетная книжка № 3-12-29183

Проверил: преподаватель

Г.А.Нефедова

Контрольная работа № 1 по теории вероятностей.

Задача № 1.

Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать события:

А– «выпадение герба»,

- «выпадение решетки».

1. Построить пространство элементарных событий опыта.

2. Описать событиеВ– «герб выпал три раза».

3. Вычислить вероятность события В.

Решение.

1. Опыт - монета подбрасывается три раза подряд. Введем обозначения исходов каждого подбрасывания:

А– «выпадение герба»,

- «выпадение решетки».

Тогда всевозможные исходы рассматриваемого опыта, т.е. троекратного подбрасывания монеты можно записать следующим образом:

- все три раза выпал «герб»,

- при первых двух подбрасываниях появился «герб», притретьем – «решетка»,

- при первом и третьем подбрасывании выпал «герб», при втором – «решетка»,

- при первом подбрасывании выпала «решетка», при втором и третьем – «герб»,

- при первых двух подбрасываниях появилась «решетка», при третьем – «герб»,

- при первом и третьем подбрасывании выпала «решетка», при втором – «герб»,

- при первом подбрасывании выпал «герб», при втором и третьем – «решетка»,

- все три раза выпали «решетки».

Т. о. пространство элементарных событий опыта состоит из следующих элементов:

.

2. Любое событие, которое возможно в результате проведения опыта, является подмножеством пространства элементарных событий. СобытиеВ– «герб выпал три раза» - произойдет, если при трех подбрасываниях «решетка» не выпадет ни разу. Следовательно, событиеВсостоит из следующих элементарных событий:

.

3.Найдем вероятность события В по формуле классической вероятности. Благоприятный исход всего один, а общее количество равновозможных исходов равно,

Ответ.1.;

2. .

3._.

Задача № 2.

Для 100 чисел (см. условие задачи № 1 контрольной работы № 2) определить относительную частоту и вероятность события – «последняя цифра чётная».

Решение.

После вычеркивания 3 строки и 6 столбца получим следующую таблицу:

-0.09	0.15	0.41	0.80	-1.62	1.11	-1.59	1.10	0.13	0.51
-0.75	1.37	-0.98	-0.40	-0.11	0.75	1.30	0.50	0.80	-1.90
0.18	-1.63	-1.34	1.01	0.43	-0.48	-0.37	1.28	0.64	0.73
0.51	0.45	0.79	-0.08	1.77	1.22	0.16	0.23	2.37	0.54
0.53	0.61	-1.14	-1.00	0.56	-0.12	-0.44	-0.15	-0.06	1.27
-2.02	0.97	-1.33	0.43	0.26	-0.32	-0.62	-1.21	0.51	0.29
-0.43	0.40	1.24	0.34	-0.12	0.03	-1.36	0.31	-0.12	-1.52
0.98	0.16	1.23	-1.42	-0.54	-0.28	0.47	0.07	0.65	-2.42
0.62	-0.29	0.60	-0.57	0.75	-0.54	-0.53	0.87	-0.29	-1.05
1.31	0.38	-0.18	-0.43	2.12	-0.06	0.28	0.12	-0.53	0.00

Относительная частота события определяется как:

,

где п– общее число элементов (данных),

к– числоэлементов, соответствующих событию.

В данном случае:,_{- подсчитано непосредственно, при этом с}читаем, что 0 – число чётное_.

Следовательно, относительная частота события – «появление последней цифры, кратной трем» - равна:

.

Определим вероятность того, что в результате испытания появится цифра, кратная четырём, по формуле классической вероятности.

Всего равновозможных исходов 10, т.к. может появиться любая из 10 цифр. Благоприятных исходовтри (цифры0, 2,4, 6и 8), поэтому вероятность будет равна:

.

Ответ:Относительная частота события – «появление последней цифры чётной» - равна 0,52; вероятность события - «появление последней цифры чётной» - равна 0,5.

Задача № 3.

В ящике имеется 16 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наугад вынимают две детали. Найти вероятность того, что:

1. обе извлеченные детали окажутся окрашенными;

2. одна деталь окрашенная, а другая неокрашенная (порядок появления деталей не учитывается);

3. хотя бы одна из двух деталей окажется окрашенной.

Решение.

Опыт – случайным образом из ящика вынимают 2детали. Результаты опыта:

1) событиеА– «обе извлеченные детали окажутся окрашенными»;

2) событиеВ– «одна деталь окрашенная, а другая неокрашенная (порядок появления деталей не учитывается)»;

3) событиеС– «хотя бы одна из двух деталей окажется окрашенной».

Вероятность случайного события определяется как:

,

где п– общее число исходов опыта,

к– число исходов опыта, благоприятных событию.

1) В данном случае всевозможных вариантов выбрать две детали из 16 равно:

.

Число способов выбрать две детали так, чтобы обе извлеченные детали оказались окрашенными, равно:

.

Тогда искомая вероятность событияАбудет равна:

.

2) _{- количество} вариантов выбрать две детали из 16

Число способов выбрать две детали так, чтобы одна деталь оказалась окрашенной, а другая неокрашенной, т.е. выбрать одну деталь из десяти, а вторую из 16-10= 6 деталей (неокрашенных), равно:

.

Тогда искомая вероятность событияВбудет равна:

.