№ 1
№2
№3
№ 4
8. Комплексный анализ
Запишите комплексное число, изображенное на рисунке в алгебраической форме.
|
æ |
p |
+ i ×sin |
p |
ö |
|
|
Запишите комплексное число 4 |
çcos |
|
|
÷ |
в алгебраической форме. |
||
3 |
3 |
||||||
|
è |
|
ø |
|
Запишите комплексное число, изображенное на рисунке в тригонометрической форме.
Укажите комплексно-сопряженное число 
, для комплексного числа 
, заданно-
uuur
го радиус-вектором OP .
1) |
2) |
3) |
4) |
№ 5 |
Укажите неравенство, которому удовлетворяет множество комплексных чисел, |
||||||||||||||||||||
|
изображенных на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-1 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) |
|
z - 2i |
|
£1; |
|
2) |
|
z + 2i |
|
£ 1; |
3) |
|
z + 2 |
|
£1 ; |
4) |
|
z - 2 |
|
£ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15
№ 6 |
Укажите соответствие между комплексными числами и числами, сопряженными к |
||||||||||||||||||||||||||||
|
ним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) 3 - 5i ; 2) 5 - 3i ; 3) -3 + 5i ; 4) -5 + 3i . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
a) 3 + 5i ; |
|
b) 5 + 3i ; c) -5 - 3i ; |
|
|
|
|
d) -3 - 5i ; е) 3 - 5i ; f) -5 + 3i . |
|||||||||||||||||||||
№ 7 |
Укажите соответствие между комплексным числом и его аргументом. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
- |
|
|
|
i ; 2) - |
|
|
|
i ; 3) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
1) - |
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|||||||||
|
a) p ; |
b) - |
|
; |
|
c) 0; |
d) - |
; |
е) |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
||||||||||||
№ 8 |
Укажите соответствие между комплексным числом и его модулем. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1) 3 + 4i ; 2) |
3 |
- i ; 3) -1 + |
8 |
i ; 4) -5 -12i . |
||||||||||||||||||||||||
|
a) 13; |
b) |
|
; |
c) 5; |
d) 2; |
|
|
|
е) |
|
; f) 3. |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||
№ 9 |
Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями. |
||
|
1) - 2 £ Re z £ 3 ; 2) Im z = -2 ; 3) Re z = -2 ; 4) Im z = 3 . |
|
|
|
a) |
b) |
c |
d) |
е) |
f) |
№ 10 |
Найдите модуль комплексного числа z , если Im z =18 , arg z = arcsin |
|
9 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
№ 11 |
Вычислите. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||
|
2 - 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) i13 ; 2) (2 - i)(7 - 2i)+ 7i ; |
3) |
; 4) 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
125i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ 12 |
|
|
|
|
3 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решите уравнение z + 2 |
|
= 3 + i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 13 |
Укажите вектор, изображающий произведение z |
× z |
|
, если |
i |
3p |
, z |
|
|
-i |
3p |
|
||||||||
|
2 |
z = 2e 2 |
2 |
= e 4 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1) |
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
4) |
|
|
||||
16
№ 14
№15
№16
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
Укажите соответствие между операциями над числом z =1 + i и результатами их выполнения.
1) z × z ; 2) z ; 3) 2z + z ; 4) z - z . z
a) 2i ; b) - |
1 |
|
+ |
1 |
|
i ; |
c) |
1 |
|
- |
1 |
|
i ; d) 2; е) 3 + i . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
Найдите значение функции |
f (z) в точке z0 |
||||||||||||||||
1) f (z) = z2 + i , z0 |
=1 + i ; 2) f (z) = |
1 |
, z0 = 2 - i . |
|
|||
|
|
z |
|
Найдите значение производной функции f (z ) = 2z2 + 4 в точке z0 = 2 + i .
9. Дифференциальные уравнения
Укажите для каждого из перечисленных дифференциальных уравнений его порядок, решите дифференциальные уравнения первого порядка.
1) |
xy¢ - 9 y = x ; |
2) y ' = |
y |
+ cos2 |
y |
; |
3) xy¢¢ - 9 y¢ = x ; |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|||
4) |
y'-5x4 y = 0 ; |
5) xy |
d 2 y |
+ 2 y |
dy |
- y3 = y 2 ; 6) 3yy'-x 2 + 4x + 7 = 0 . |
|||||
dx2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
||||||
Укажите тип дифференциального уравнения y'+xy = x 2 y6 .
1)однородное дифференциальное уравнение;
2)уравнение Бернулли;
3)уравнение с разделяющимися переменными;
4)линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Найдите значение произвольной постоянной С, если y = Cx - общее решение дифференциального уравнения xy¢ = y и y(6) = 18 .
Найдите решение дифференциального уравнения e-x (1 + y¢) = 1 .
1) y = e x + 4 ; 2) y = e x + x + 4 ; 3) y = -e x - x + 4 ; 4) y = e x - x + 4 .
Найдите значение k , при котором функция y = x3 является решением дифферен-
циального уравнения y¢ = (k +1)x2 .
Найдите вид интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка x( y +1) y'- y 2 = 0 , удовлетворяющего условию y(1) = 1 .
Укажите характеристическое уравнение, если общее решение соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения, имеет вид
y = C1e2 x + C2e- x .
1) k 2 + k - 6 = 0 ; 2) k 2 - k - 2 = 0 ; 3) k 2 + 3k - 4 = 0 ; 4) k 2 + k - 2 = 0 .
Решите дифференциальные уравнения. |
|
5x |
|
|||
1) y |
¢¢ |
¢ |
y ''- y '- 2 y = cos x - sin x ; |
3) y' '-6 y'+5y = 4e |
. |
|
|
- y tgx = cos x ; 2) |
|
||||
Укажите соответствие между правой частью неоднородного дифференциального
уравнения y' '+2 y'+ y = f ( x) и частным решением y . 1) f (x) = x ; 2) f (x) = x2 +1; 3) f ( x) = e- x .
a) y = Ax2 + Bx + C ; b) y = Ax + B ; c) y = Ax2 e-x ; d) y = Ae-x .
17
№10
№11
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№8
№9
№10
№11
Запишите соответствующее дифференциальному уравнению его характеристическое.
1) 2 y IV - 3y¢¢¢ + y¢¢ + y = 0 .
Решите дифференциальное уравнение. y' ' ' = sin 2x .
10. Ряды |
|
|
|
|
Найдите четвертый член числовой последовательности x |
n |
= |
n + 3 |
. |
|
||||
|
|
n2 + 5 |
||
Найдите сумму первых пяти членов числовой последовательности: 11; 13; 15;… Укажите соответствие между числовой последовательностью и формулой ее общего члена.
1) |
1 |
, |
1 |
, |
|
1 |
,...; 2) |
|
1 |
, |
1 |
, |
1 |
,... ; |
3) |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
,... . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1×3 3×5 5×7 |
1×2 2 ×3 3×4 |
|
|
4 |
|
7 10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a) a = |
1 |
; |
b) a = |
|
1 |
|
|
; |
c) a = |
1 |
|
; |
d) a = |
1 |
. |
||||||||||||||
5n -1 |
|
(2n -1)(2n +1) |
3n +1 |
n (n +1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||
Укажите соответствие между числовой последовательностью {an } и ее пределом при n ® ¥.
1) |
a |
= |
3n2 - 2 |
; 2) |
a = |
2n + 3 |
; 3) a |
|
= |
|
2n + 3 |
; |
4) |
a |
= |
3n2 - 2 |
. |
||||||
|
n |
|
2n + 3 |
|
n |
3n2 - 2 |
n |
|
|
3n - 2 |
|
|
n |
|
2n2 + 3 |
||||||||
a) |
2 |
; |
|
b) 0; |
c) - |
3 |
; |
d) - |
2 |
; |
е) |
3 |
; |
f) ¥ . |
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заполните пропуски:
Если последовательность……,то она……. 1)монотонна и ограничена; сходится
2)монотонна; сходится
3)ограничена; сходится
4)сходится; ограничена
Найдите сумму числового ряда å¥ æ 1 ön
ç ÷ n =0 è 5 ø
Укажите соответствие между знакопеременными рядами и видами сходимости.
1) å(-1 )n |
8n ; 2) |
|
|
n |
|
n |
å (-1 ) |
; 3) å(-1 ) . |
|||||
¥ |
|
¥ |
|
|
¥ |
|
n=1 |
|
n =1 |
(n + 4)! |
n=1 n + 5 |
||
a) абсолютно сходится; |
|
b) условно сходится; c) расходится. |
||||
Укажите значение l , при котором числовой ряд сходится, если lim an+1 = l .
n®¥ an
1) 2,1; 2) -0,3; 3) 0,3; 4) -2,1.
Укажите все значения p, при которых числовой ряд
1) p ³ 0 ; 2) p > 0 ; 3) p ³ -1; 4) p < 1.
Исследуйте ряды на сходимость.
¥ |
2 |
n |
¥ |
7 |
n |
¥ |
1 |
|
¥ |
|
n |
2 |
|
|
1) å |
|
; 2) å |
|
|
; 3) å |
; 4) |
å |
|
|
. |
||||
n! |
5n +1 |
-n |
n |
3 |
|
|||||||||
n=1 |
n=1 |
n=1 |
5 |
|
n=1 |
+1 |
||||||||
¥ |
1 |
|
|
å |
сходится. |
||
p +1 |
|||
n=1 |
n |
||
18