a ±

b =

a +

a2 −b

±

a −

a2 −b

.

2

2

ливо, если a >0, b >0

и a2 −b > 0.

Тогда все три корня определены,

a + a2 −b

>

a − a2 −b

и правая часть равенства положительна.

2

2

Возведём в квадрат обе части равенства. Получим:

a ±

b =

a +

a2 −b

+

a −

a2

−b

±2

a2

−a

2 +b

,

2

2

4

a ± b = a ±

b.

Пример 2. Освободитесь от внешнего радикала в выражении

56 −

2880 ,

применяя формулу двойного радикала.

56 − 2880 =

56 +

3136 −2880

−

56 −

3136 −2880

=

2

2

=

56 +16

−

56 −16

= 6 −

20 = 6 −2

5. ▲

2

2

x

0

1/16

1/ 9

1/ 4

1

4

9

y

0

1/ 4

1/ 3

1/ 2

1

2

3

y

3

2

1

2

1

1

9

x

4

4

Рис. 1 ( y = x )

Пример 1. Постройте графики функций:

а) y = x2 ; б) y = − −x;

в) y = x +1;

г) y =

x +1

;

График данной функции приведён на рис. 2.

б) Из определения корня следует, что −x ≥0,

т. е.

x ≤0. Составим таб-

лицу значений функции:

x

0

−1/16

−1/ 4

−1

−4

−9

y

0

−1/ 4

−1/ 2

−1

−2

−3

y

y

9

4

1

x

1

1

2

0

1

x

3

Рис. 2 ( y =

x2

)

Рис. 3

( y = −

−x )

2010-2011 уч. год., № 4, 8 кл. Математика. Квадратные корни

y

y

2

2

1

1

x

1

0

3

5

2

1

0

3

x

Рис. 4

( y =

x +1 )

Рис. 5

( y =

x +1 )

функция определена, при этом y =

−x −1. Заметим, что данная функ-

ция в точках, симметричных относительно точки

x = −1, принимает

равные значения. Например, при

x = 0

и x = −2

значения функции

совпадают и равны 1. В точках 3 и (−5)

значения функции также сов-

При x ≥ 2

y = (x −2)2 − (x +1)2 =

x −2

−

x +1

.

y = x −2 − x −1 = −3.

При −1 < x < 2

y = −x +2 − x −1 = −2x +1.

При x ≤ −1

y = −x + 2 + x +1 =3.

График функции изображён на рис. 6.

е) Данная

функция определена при x ≥0.

Для этих

значений

y =(− x )2

= x. График функции приведён на рис. 7.▲

y

3

y

1

1

1 0

1

2

x

3

0

1

x

x )2 )

( y =

x2 −4x + 4 + x2 +2x +1 )

Рис. 7 ( y =(−

Рис. 6

Пример 2. Постройте график функции

3

−

−x, если x ≤0;

5

y = 3

−

x, если 0 < x < 2;

2

x

−2 −2, если x ≥ 2.

y = −

−x. Значения заданной функции при x ≤0

получаются из значе-

ний функции y = − −x прибавлением числа 3,

т. е. график функции

y =3 −

−x получается из графика функции y = − −x сдвигом парал-

лельно оси Oy на 3 единицы вверх.

0 < x < 2 совпадает с графиком прямой y =3 −

5

x.

2

При x ≥ 2

можно сначала построить график функции y =

x −2, а

затем сдвинуть его на 2 единицы вниз параллельно оси Oy.

Составим таблицу значений функции

x

−9

−1

0

2

6

y

0

2

3

−2

0

9

4

1 0

2

6

x