Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M4_10_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

654.44 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)

Заочная физико-техническая школа

МАТЕМАТИКА

Тригонометрические функции и уравнения

Задание №4 для 10-х классов

(2014 – 2015 учебный год)

г. Долгопрудный, 2014

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Составитель: М. А. Лунина, доцент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №4 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год), 2014, 24 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 05 января 2015 г.

Составитель:

Лунина Мария Александровна

Подписано в печать 14.11.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 550. Заказ №31-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Моск. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

I Тригонометрические функции

Из школьного курса алгебры хорошо известны свойства тригонометрических функций: y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x. Остановимся подробнее на двух свойствах этих функций.

1. Чётность и периодичность

Напомним

Определение 1. Функция y f x называется нечётной, если для всех х из области определения функции выполняется f x f x .

Функция f x называется чётной, если для всех х из области опреде-

ления функции выполняется f x f x .

Подчеркнём, что в этом определении предполагается, что область определения чётных и нечётных функций симметрична относительно

точки x 0 , т. е. вместе с точкой х содержит и точку	x.
Известно, что функции y sin x, y tg x, y ctg x	являются нечёт-

ными, а функция y cos x является чётной. Также чётными функциями

являются, например, y x2 ,

, а нечётными: y x, y x3 .

Пример 1. Исследовать на чётность и нечётность функции:

а)

sin x

; б)

; в)

x 1

Решение. а)

y x

sin x

y x ,

т. е. функция

чётная.

б) Область определения функции ; 1 1;

не является

симметричной относительно x 0, функция не является ни чётной, ни нечётной.

в) y x x 1 x 1 x 1 x 1 y x , т. е. функция не-

чётная (здесь мы использовали равенство a a ).

Ответ. а) чётная; б) не является ни чётной, ни нечётной; в) нечётная.

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Отметим, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 2. Функция y f x называется периодической с периодом T 0 , если для всех значений х из области определения функции выполняются равенства f x T f x T f x .

Подчеркнём, что в определении периодичности предполагается, что

область определения функции вместе с точкой х содержит и точки

x T .

Нетрудно показать, что если функция имеет период T , то числа n T , где n Z, n 0, также периоды этой функции. Таким образом, возникает

вопрос о наименьшем положительном периоде (НПП) функции. Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Например,

для функции y C (постоянная функция) любое ненулевое число является периодом. Из школьной программы известно, что число T 2 является периодом функций y sin x и y cos x, а число T периодом функций y tg x и y ctg x . Однако эти числа являются НПП

соответствующих функций. Строгое доказательство этих фактов часто вызывает затруднения у школьников.

Пример 2. Доказать, что НПП функции y sin x является число 2 . Доказательство. Из определения синуса следует, что для всех х вы-

полняется равенство sin x 2 sin x , т. е. число 2		является перио-
дом функции y sin x.
Пусть T некоторый период функции	y sin x . Тогда для всех х
выполняется равенство sin x T sin x .	При x 0	имеем sinT 0 .

Отсюда следует, что T k, k Z. Нас интересуют положительные значения T , меньшие, чем 2 . Таким может быть только T . Но число T не является периодом функции y sin x , так как равенство

sin x sin x не выполняется, например, при x 2 . Значит, НПП функции y sin x является T 2 .

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 3. Найти НПП функции y cos3x.
Решение.		T	2	является периодом этой функции,		т. к.
Решение.		T		является периодом этой функции,		т. к.
		0	3
			3
	2	cos 3x 2 cos3x для всех х. Число			0 T1	2
cos3 x							не
cos3 x	3					3	не
	3					3

может быть периодом y cos3x, т. к. иначе		0 3T1 2 являлось бы
периодом y cos x. Действительно, если	cos3 x T1 cos3x для лю-
бого x R , то cos t 3T1 cost . Здесь t	3x	может принимать также

любые действительные значения (доказать, что НПП cos x является число 2 , предлагается самостоятельно – см. вопрос №2).

Ответ. 23 .

График периодической функции « периодически повторяется», т. е. его можно построить на отрезке, длина которого равна положительному периоду, а далее сдвигать вдоль по оси абсцисс на величину, кратную этому периоду вправо и влево.

Пример 4. Доказать, что функция y x2 не является периодической. Доказательство следует из свойств графика функции y x2 . Если бы эта функция имела период T 0, то её график «периодически повторял» её график на отрезке 0,T и значения функции на R были бы

ограничены, что не так.

Впрочем, нетрудно привести и аналитическое доказательство. А имен-

но, если предположить, что	T 0 период y x2 , то x T 2 x2 для
всех х. В частности, при x 0	получим T 2 0 и T 0 (противоречие).

2.Тригонометрические преобразования

Вразличных задачах приходится делать тригонометрические преобразования. Здесь надо знать и применять свойства тригонометрических функций, а так же многочленные тригонометрические формулы. Приведём основные из них.

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Основное тригонометрическое тождество и производные от него sin2 cos2 1;

2	1
tg 1			;
		cos2
2	1

1 ctg sin2 .

Формулы сложения

sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ;

tg tg tg . 1 tg tg

В этих формулах справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки.

Формулы двойного угла

sin 2 2sin cos ;

cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ;

tg2	2tg	.

1	tg2

Формулы понижения степени

cos2 1 cos 2 ; 2

sin2 1 cos 2 . 2

Преобразование сумм в произведение

cos cos 2cos		cos			;
	2			2
cos cos 2sin			sin		;
	2			2
sin sin 2sin cos
	2			2

(справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки).

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Преобразование произведений в суммы

sin cos 12 sin sin ; cos cos 12 cos cos ; sin sin 12 cos cos .

Формула дополнительного угла

asin bcos a2 b2 sin , где

cos		a	, sin	b		.


	a2	b2		a2	b2
	a2	b2		a2	b2

Последнюю формулу можно записать и в другом виде, например, asin bcos a2 b2 cos , где

cos	b		, sin		a	.


	a2	b2		a2	b2
	a2	b2		a2	b2

Также часто используются многочисленные формулы приведения, которые рекомендуем повторить по школьному учебнику вместе с правилом их запоминания.

Рассмотрим несколько задач

																						19
																						19
	Пример 5. Найти значение функции														y		3 sin 2x sin							x			в
	Пример 5. Найти значение функции														y		3 sin 2x sin							x			в
																						2
точке x				17			.
точке x							.
					3
	Решение.
			34					19	17
			34					19	17
	3 sin				sin						3 sin		11				sin 9				6
	3 sin		3		sin				3		3 sin		11			3	sin 9		2		6					3
			3					2	3							3			2							3
										5							5
																				3			1
																				3			1
		3 sin						sin				3 sin			sin			3							2.
		3 sin						sin				3 sin			sin			3							2.
						3				6				3			6		2				2
Здесь использовано то, что T 2													период функции					y sin x ,							а также
формула приведения sin sin .
	Ответ.				2.

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

	Пример 6. Найти sin3 cos3 , если sin cos																												1	.
	Пример 6. Найти sin3 cos3 , если sin cos																													.
																												2
	Решение.												Так			как		sin cos 2						1 2sin cos								1	,	то
	Решение.												Так			как		sin cos 2						1 2sin cos									,	то
																															4
sin cos										3		.		Пользуясь				формулой				для		суммы кубов,							получаем
sin cos												.		Пользуясь				формулой				для		суммы кубов,							получаем
								8
sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2
	1		3					11
		1										.
	2	1						16				.
	2		8					16
	Ответ.				11				.
	Ответ.			16					.
				16
	Пример 7. Преобразовать в произведение тригонометрических
функций сумму S sin cos .
	Решение. Воспользуемся формулой приведения
	Решение. Воспользуемся формулой приведения																									sin cos								.
Тогда																															2
Тогда

																			2							2

			S cos													cos 2cos									cos						.
			S cos													cos 2cos									cos						.
														2							2							2

	Ответ.			2cos									2				cos	2		.
	Ответ.			2cos													cos			.
															2			2
	Пример 8. Вычислить без таблиц произведение
															P cos 20 cos 40 cos80 .
	Решение. P													2sin 20 cos 20 cos 40 cos80
	Решение. P
																	2sin 20
											2sin 40 cos 40 cos80											2sin 80 cos80

																4sin 20								8sin 20
											sin160						sin 180 20						sin 20			1	.
																											.
											8sin 20						8sin 20						8sin 20			8
Здесь мы воспользовались формулой синуса двойного угла и формулой
приведения sin																sin .
	Ответ.					1	.
	Ответ.			8			.
				8

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения sin cos .

Решение. По формуле дополнительного угла

sin cos

2 sin

Так как 1 sin

1, то

max sin cos

2, min sin cos 2.

Ответ. 2 и

3. Обратные тригонометрические функции

Напомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа х.

Определение 3. y arcsin x это такой угол (число), что sin y x и

	y	.
	2	2
	Определение 4. y arccos x это такой угол (число), что		cos y x и
0 y .
	В определении 3 число x sin y и значит, должно быть		x	1. Ана-
	В определении 3 число x sin y и значит, должно быть		x	1. Ана-

логично, в определении 4 число x cos y и значит, также должно быть x 1.

Определение 5. y arctg x это такой угол (число), что tg y= x и

y . 2 2

Определение 6.

y arcctg x это такой угол (число),

что ctg y x и

0 y .

В определениях 5 и 6 число x любое действительное число.

а) arcsin

;

Пример 10. Вычислить:

б) arcsin

;

в) arccos0;

г) arccos

;

д)

arctg

;

е)

arcctg1.

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Решение. а) arcsin

т. к.

sin

;

б)

arcsin

т. к. sin

;

2 2

в) arccos 0

т. к. cos

0; ;

cos

г)

arccos

, т. к.

;

д)

arctg

т. к.

;

2 2

е)

arcctg1 , т. к. ctg

1 и

0; .

Ответ. а)

;

б)

;

в)

; г)

;

д)

;

е)

Из школьного курса известно,

что функции y arcsin x и

y arctg x

являются

нечётными,

т.

е.

выполняются

равенства

arcsin x arcsin x

arctg x arctg x,

которые позволяют сво-

дить вычисление arcsin x и arctg x

при x 0 и положительным значе-

ниям аргумента. Что касается функций

y arccos x и

y arcctg x, то

они не являются ни чётными, ни нечётными. Для вычисления их при отрицательных значениях аргумента можно, кроме определения, пользоваться также известными из школы формулами:

arccos x arccos x,			(1)
arcctg x arcctg x.			(2)
	1
		; б) arcctg	3 .
Пример 11. Вычислить: а) arccos

	2

Решение. а) По формуле (1)										1		arccos			1				2
								arccos												.
								arccos												.
										2					2			3	3
Этот же		результат			можно			было получить и						по		определению:
	1		2			2									1		2	0; .
arccos				, т. к. cos			cos				cos					и		0; .
	2		3			3			3				3		2		3

Здесь мы воспользовались формулой приведения cos cos .

2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015504.99 Кб115M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015581.89 Кб44M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб70M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб48M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб61M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб52M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб71M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб61M4_8_2010.pdf
#
03.06.2015463.11 Кб72M5_8_2010.pdf
#
27.03.2016117.26 Кб8ma1^.pdf
#
03.06.20152.89 Mб31macroeconomics.pdf