Введение

Обозначают арифметический квадратный корень так:

a.

Например,

64 =8;

1, 44 =1,2; 0 =0.

Равенство

a =b является верным, если выполняются два условия:

1) b ≥0 и 2) b2 = a.

При a < 0

выражение

a не имеет смысла, т. к. квадрат любого

числа – число неотрицательное. Поэтому выражения

−49 и

−3,5 не

имеют смысла.

a име-

Из определения арифметического корня следует, что если

ет смысл, то (

a )2

= a и

a2 =

a

.

Докажем, что, действительно, a2

=

a

.

Если a ≥0,

то из опреде-

ления арифметического корня следует, что

a2 =

a

.

Если же a <0,

то −a >0

и (−a)2 = a2 . Таким образом, арифметиче-

ский корень

a2

равен

a,

если

a ≥0

и равен (−a),

если a < 0, т. е.

a2 =

a

.

Пример 1. Найдите значение выражения:

а) 2 12, 25 −0,1 0, 25;

б)

(−9)2 ;

в)

−16, 2.

а) Из

определения

арифметического корня

следует, что

12,25 =3,5,

т. к. 3,5 >0

и 3,52 =12,25; 0, 25 =0,5,

т. к. 0,5 > 0 и

а)

3x

;

б)

2x +1

?

x +

x −1

x +2

а) Выражение

x −1

определено, если x −1 ≥ 0, т. е. при x ≥1. Но

так как

x −1

стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю,

т. е. данное выражение имеет смысл при x >1.

б) Выражение

x определено при x ≥ 0, а выражение

x + 2 оп-

ределено при

x + 2 ≥ 0, x ≥ −2. Таким образом,

при x ≥0 определены

оба корня. При таких x имеем:

x ≥0 и x + 2 > 0, поэтому знамена-

тель при x ≥ 0

не обращается в нуль, значит, при x ≥0 данное выраже-

ние имеет смысл.

Пример 3. Решите уравнение:

а) x + 2 = 0, б) x −3 =0, в) 5x +6 = 6, г) 3x −7 = −5.

а)

Арифметический

корень

x

определён при x ≥0,

при этом

x ≥0,

значит, при любом

x ≥ 0

выражение

x + 2 ≥ 2,

поэтому дан-

ное уравнение не имеет решений.

б)

x = 3.

Из

определения арифметического

корня

следует, что

(

x )2

= x =9,

т. е.

x =9 является корнем уравнения.

в) Предположим, что

данное

уравнение

имеет решение, тогда

(

5x +6 )2

=5x +6 = 62. Отсюда уже видно, что 5x +6 >0,

т. е. выраже-

ние

5x +6

определено.

Решаем

уравнение:

5x +6 =36,

5x =30,

§2. Уравнение x2

= a

Если a <0, то уравнение x2

= a

не имеет решений. Если a =0, то

уравнение имеет

единственное

решение

x = 0.

Рассмотрим теперь

уравнение x2 = a при a >0.

y = x

2

y

Рассмотрим графики функций

и

y=x 2

y = a. Если a =1,

то уравнение

x2 =1 имеет

два корня: 1 и −1.

Если a = 4,

то уравнение

4

x

2

= 4 имеет два корня: 2 и

−2.

Один из

y=a

a

корней совпадает с арифметическим корнем

из числа 4, а второй корень – число, проти-

воположное первому корню.

1

x2

Рассмотрим теперь уравнение x2

= 2.

x1

2

1

0

1

2

x

В первом задании мы уже говорили о

двум. Арифметический корень

2 является числом иррациональным.

Пример 1. Докажите, что число

7

является числом иррациональ-

ным.

Предположим, что 7

является числом рациональным, т. е.

7 =

m

, где n – натуральное

число,

m

– целое число и

m

– несо-

n

n

2

( 7 )2 = 7 =

m

, 7n2 = m2 .

2

n

Левая часть полученного выражения делится на 7, поэтому и m2

делится на 7, т. е. m делится на 7, тогда m =7k, 7n2 = 49k2 , n2

=7k2 .

Отсюда следует, что и число n делится на 7, но тогда дробь

m

явля-

n

тельно, число

7 является иррациональным. ▲

Из рисунка следует, что если a >b ≥0,

то

a > b. Поэтому, на-

пример, 119 >

80; 2,37 > 1,5.

Пример 2. Сравните числа a = 2 3 и b =

1

47.

2

положено число a =

1

209 ?

3

a

2

=

1

209

2

=

1

209 = 23

2

. Заметим, что 16 < 23

2

< 25,

по-

3

9

3

3

этому

16 < a < 25,

т. е. 4 < a <5. ▲

§3. Свойства арифметического квадратного корня

В школьном учебнике у вас доказываются две теоремы.

Теорема 1. Если a ≥ 0 и b ≥ 0,

то

ab =

a

b.

Теорема 2. Если a ≥0 и b > 0,

то

a

=

a

.

b

b

Пример 1. Найдите значение выражения (без калькулятора):

а)

5 35 175; б)

5

11

;

в)

75

;

49

192

г)

1492 −

762

; д)

16

3

4

4

.

4572 −3842

а)

5 35 175 =

175 175 =175.

б)

5

11

=

256

=

16

.

49

49

7

в)

75

=

75

=

25

=

5

.

192

192

64

8

149 +76

2

2

149 −76

149

−

76

(

)(

)

73 225

г)

=

=

=

4572 −3842

(457 −384)(457 +384)

73 841

=

225

=

225

=

15

.

841

841

29

д) 163 44 =

(42 )3 44 = 46 44 = 410 =

(45 )2 = 45.

Можно решать и другим способом.

163 44 = 162 16 44 = 162 16

(42 )2 =16 4 42 =

= 42 4 42 = 45. ▲

Рассмотрим

48. Преобразуем это выражение:

48 = 16 3 =

16

3 = 4

3.

В этом случае мы говорим, что множитель

4

вынесли из-под знака

корня.

Теперь рассмотрим выражение 5 7, преобразуем его:

5

7 =

25

7 =

25 7 =

175.

В этом случае говорим, что множитель 5 внесли под знак корня.

Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) (5 13 −4 19 )2 ; б) ( 7 − 11)3 ( 3 − 5 )5 ;

в) −

−a4b11 ;

г)

21(xy)2 , если xy ≤0.

а) Так как

a2

=

a

, то

(5

13 −4 19 )2 =

5 13 −4

19

.

Определим знак числа 5 13 −4 19. Числа 5 13

и 4

19 – поло-

жительные.

Рассмотрим

их

квадраты:

(5

13)2

= 25 13 =325

и

(4

19 )2

=16 19 =304.

Так

как

304 <325,

то

304 <

325, т.

е.

5

13 > 4 19, поэтому

5 13 −4

19

=5 13 −4 19.

б) ( 7 − 11)3 ( 3 − 5 )5 =

= ( 7 − 11)2 ( 7 − 11)( 3 − 5 )4 ( 3 − 5 )=

=

7 − 11

( 3 − 5 )2

( 7 − 11)( 3 − 5 ).

Число

7 <

11, т. к. (

7 )2

= 7, (

11)2

=11 и 7 <11. Поэтому

7 − 11 <0, т. е.

7 − 11

= 11 − 7.

Окончательно получаем: ( 11 −

7 )(

3 − 5 )2 (

7 −

11)( 3 −

5 ).

в) Так как

a4 ≥ 0, то корень

определён,

если

−b11 ≥ 0,

т. е.

b11 ≤ 0, b ≤0.

−

a4 (−b5 )2 (−b) = −a2 (−b5 )

−b = a2b5 −b.

г)

21(xy)2

=

xy

21 = −xy

21. ▲

а) (5 − 37 )

2 +3; б) (2a −1) 1 −2a; в) −3xy −

1

.

(xy)

3

При решении этих примеров используем формулу

a2

=

a

.

а) Число 5 −

37 < 0,

т. к. 52

= 25, (

37 )2 =37

и 25 <37. Поэтому

(5 − 37 )

2 +3 =−( 37 −5)

2 +3 =− ( 37 −5)2 ( 2 +3).

б) Корень

1 −2a

определён, если

1 −2a ≥0, 2a ≤1, a ≤

1

. При та-

ких a выражение 2a −1 ≤ 0. Поэтому

2

(2a −1) 1 −2a = −(1 −2a) 1 −2a = − (1 −2a)2 (1 −2a) = − (1 −2a)3 .

в) Корень

−

1

определён, если xy <0.

Поэтому

(xy)3

−3xy −

1

(−xy)

1

9(−xy)

2

1

−9

=3

−

=

−

=

.

(xy)3

(xy)3

(xy)3

xy

Пример 4. Сравните числа a и b :

а) a = 3 + 11 и b = 6 + 8;

б) a = 2 − 3 и b = 7 −4 3;

в)

a =

2

−

2

и

b = 110.

5 +3

3

5 −3

3

а)

Числа

a и

b

положительные. Рассмотрим квадраты этих

чисел.

Имеем:

a2 =3 +2 3

11 +11 =14 +2

33,

b2

= 6 +2

6 8 +8 =

=14 + 2 48. Так как 48 >33, то

48 >

33, 2

48 > 2

33, поэтому

b2 > a2

и b > a.

>( 3 )2

б)

Число

a >0,

т. к.

22

=3.

Число

7 −4

3 >0, т. к.

72 >(4

3 )2

= 48. Отсюда следует, что число b определено и оно боль-

ше нуля.

и b положительные. Рассмотрим их квад-

Таким образом числа a

раты: a2 =(2 −

3 )2 = 4 −4

3 +3 =7 −4

3,

b2 =7 −4 3.

Следователь-

но, a =b.

2

2

в) a =

−

.

+3

5

3 5 −3 3

Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

a =

10 −6 3 −10 −6 3

−12 3

=

=6 3 =

108.

(5 +3

3 )(

5 −3

3 )

−2

Так как 110 >108, то

110 > 108 и b > a. ♦

Пример 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дро-

би:

а)

2

;

б)

1 +

2

.

3 5 − 7

3 −

2 +

5

а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 3 5 +

7. Получим:

2(3 5 + 7 )

=

6 5 +2 7

=

6 5 +2 7

=

3 5 +7

.

(3 5 − 7 )(3 5 + 7 )

(3 5 )2 −( 7 )2

45 −7

19

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение

(3 − 2 )− 5 ≠ 0. Получим:

(1 + 2 )((3 − 2 )−

5 )

=

((3 − 2 )+ 5 )((3 − 2 )− 5 )

=

3 − 2 − 5 +3 2 −2 − 10

=

1 +2 2 − 5 − 10

.

(9 + 2 −6 2 )−5

6(1 − 2 )