Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M3_10_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

849.06 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)

Заочная физико-техническая школа

МАТЕМАТИКА

Последовательности. Пределы

Задание №3 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год)

г. Долгопрудный, 2014

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Составитель: Е.Ю. Редкозубова, ассистент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №3 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год), 2014, 32 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 30 ноября 2014г.

Составитель:

Редкозубова Елена Юрьевна

Подписано 15.09.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0.

Уч.- изд. л. 1,77. Тираж 500 Заказ №13-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

§1. Бесконечные числовые последовательности

Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция x = x(n),

определённая на множестве N натуральных чисел.

Аргумент n этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи x(n) используют запись xn , а саму последовательность часто

обозначают (xn ) . Число xn называют n -м (читается: энным) членом последовательности (xn ) . Задать последовательность означает задать правило по которому каждому натуральному n сопостовляется действительное число xn . Приведём примеры.

(1)	1	; 1; 1; ... (т. е. xn					= 1 для всех n N );
(2)	12 ; 22 ;					32 ; ... (т. е.			x = n2 для всех n N );
									n
(3)	1	;	1	;	1	; ... (т. е.	x		=	1	для всех n N );
								n		n
		2			3

(4)последовательность, n -й член которой равен n -му знаку после запятой в десятичной записи числа 338 ;

(5)последовательность, n -й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих n ;

(6) x1 = 1, x2 = 1 , xn = xn 1 xn 2 для всех n 3 (последовательность Фибоначчи).

Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула n -го члена (примеры (1) – (3)). Закон

соответствия между номером n и членом xn может быть описан сло-

весно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)).

Легко убедиться, что в примере (4) x1 = 2 , x2 = 4 , x3 = 2 , x4 = 4 и

т. д., т. е. xn = 3 ( 1)n . В примере (6) формулу n -го члена найти сложнее:

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

						n					n
		1	1		5	n	1		5		n
		1	1		5		1		5


xn	=	5		2				2		.
		5		2				2

А вот явную формулу n -го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без формулы.

Скажем несколько слов о геометрическом изображении последовательности. Поскольку последовательность (xn ) является функцией, то

геометрически её можно изобразить графиком (рис. 1 а). Однако чаще всего члены последовательности изображаются точками координатной прямой, снабжёнными соответствующими пометками (рис. 1 б).

x x1

1 2 3 4 5

0 xn x4x3 x2

а)

б)

Рис. 1

Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),

(2), (5) и (6)?

Ответ. Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдуще-

го.

Определение. Последовательность (xn )

называется строго возрас-

тающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. xn 1 > xn для любого n N. Последовательность (xn ) называ-

ется строго убывающей, если xn 1 < xn для любого n N. Последовательность (xn ) называется нестрого убывающей, если xn 1 xn для любого n N. Последовательность (xn ) называется нестрого возрастающей, если xn 1 xn для любого n N.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются

монотонными.

Пример 1.1. Выяснить, является ли монотонной последовательность

x =

n 2

Решение.

Уточним, чему равен xn 1 . Для этого вместо n в

x =

подставим n 1, т. е.

3(n 1)

. Рассмотрим разность

n 2

n 1

n 3

3(n 1)

3[(n 1)(n 2) n(n 3)]

n 1

n 3

n 2

(n 2)(n 3)

> 0,

(n 2)(n 3)

значит, xn 1

> xn для любого n N . По определению последователь-

ность (xn ) является строго возрастающей.

Приведённые рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности (xn ), можно установить её возрастание более простым

способом. Запишем x

в виде

x =

3n 6 6

= 3

, тогда

n 2

xn 1 = 3

> 3

= xn .

n 3

Пример 1.2. Выяснить, является ли монотонной последовательность

xn = 3 ( 1)n .

Решение. Последовательность не является монотонной, поскольку x2m 1 = 2 < 4 = x2m и x2m = 4 > 2 = x2m 1 для всех натуральных m.

Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),

(3) и (4)?

Ответ. Все их члены лежат на отрезке [0; 4].

Определение. Последовательность (xn ) называется ограниченной,

если существует число C > 0 такое, что для любого натурального n выполняется неравенство | xn | C.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 1.3. Доказать, что последовательность (xn ) является огра-

ниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке.

Решение. Пусть последовательность (xn ) ограничена. Тогда сущес-

твует число C > 0 такое, что | xn | C для любого n N . Последнее неравенство можно переписать в виде C xn C , т. е. xn [ C; C] .

Обратно, пусть все члены (xn ) лежат на некотором отрезке [m; M ] . Выберем симметричный отрезок [ C; C] , содержащий [m; M ] , тогда

C xn	C и, следовательно,					\| xn \| C . В качестве такого C можно
взять, например, max{\| m \|, \| M \|}.
Пример 1.4. Выяснить,					является ли ограниченной последователь-
ность x	=	10( 1)n n		.
			n2 1
n
Решение.			Рассмотрим		\| x \|=		10n	. Поскольку при уменьшении

					n		n2 1

знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:

\| x \|=	10n	10n	=	10		10.

	n2 1	n2
n					n
Значит, \| xn \| 10 для любого	n N . По определению последователь-

ность (xn ) является ограниченной.

Пример 1.5. Выяснить, является ли ограниченной последователь-

ность x	= n2 .
n
Решение. Предположим, что последовательность (xn )		является ог-
раниченной. Это означает, что существует такое число C > 0 ,			что при

всех n	выполняется неравенство \| n2 \| C . Однако при	n >		C 1

неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность (xn ) не является ограниченной.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

§2. Арифметические и геометрические прогрессии

Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последовательностей.

Определение. Последовательность (xn ), каждый член которой, на-

чиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией. Число d разность прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия есть последователь-ность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn d и первым членом x1 .

Перечислим основные свойства арифметической прогрессии.
1) Формула n -го члена арифметической прогрессии:
xn = x1 (n 1)d,						n N.	(2.1)
2) Для конечной арифметической прогрессии x1, x2 , , xn							суммы
членов, равноотстоящих от концов, равны:
x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 =
= xk xn k 1,				k = 1, 2, , n.			(2.2)
3) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:
S		=	x1 xn		n,		(2.3)
	n
				2

или, учитывая 1),
Sn =	2x1 (n 1)d					n.	(2.3`)
				2

Приведём ещё характеристическое свойство арифметической прогрессии.

4) Последовательность (xn ) является арифметической прогрессией

тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:

x =	xn 1 xn 1	,	n 2.	(2.4)

n	2

Приведём доказательство лишь 4). Пусть дана арифметическая про-

грессия (xn ) , тогда при n 2 имеем xn = xn 1 d	и	xn = xn 1 d .
Складывая почленно эти равенства, получаем 2xn = xn 1	xn 1 . Обратно,
пусть для n -го члена (xn ) , n 2 , выполнено равенство		(2.4) , тогда

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

2xn = xn 1 xn 1 или	xn 1 xn = xn xn 1 . Отсюда получаем, что
xn 1 xn = x2 x1 , т. е.	любые два соседних члена последовательности

отличаются на одно и то же число d = x2 x1 . По определению последовательность (xn ) является арифметической прогрессией.

Пример 2.1. Найти сумму первых 10 членов арифметической про-

грессии, если x5 x6 = 4 .
Решение. По формуле (2.3)	S		=	x1 x10	10 . Заметим, что члены x
Решение. По формуле (2.3)	S		=		10 . Заметим, что члены x
	10		2			5
			2
и x6 равноотстоят от x1 и x10		соответственно. По (2.2)				x1 x10 =

= x5 x6 , следовательно, S10 = 42 10 = 20 .

Ответ. 20.

Определение. Последовательность (xn ), первый член которой отли-

чен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q , называется

геометрической прогрессией. Число q знаменатель прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством xn 1 = xn q , первым членом

x1 0 и знаменателем q 0 .

Перечислим основные свойства геометрической прогрессии. 1) Формула n -го члена геометрической прогрессии имеет вид

x	= x qn 1	, n N.	(2.5)
n	1
2) Для конечной геометрической прогрессии			x1, x2 , , xn произ-

ведения членов, равноотстоящих от концов, равны:

x1 xn = x2 xn 1 = x3 xn 2 = =
= xk xn k 1,	k = 1, 2, , n.	(2.6)

3) Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

S		= x	1 qn		при q 1 и	S		= n x	при q 1.
				q
	n	1 1					n	1

Приведём ещё характеристическое свойство геометрической прогрессии.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

4) Числовая последовательность (xn ) ненулевых членов является

геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:

xn 1 xn 1 ,

n 2,

(2.8)

или

(x )2

= x

n 2.

(2.8`)

n 1

Докажем свойство 4). Пусть последовательность (xn )

является гео-

метрической прогрессией, тогда x2

= (x qn 1 )2

= x qn 2 x qn = x

n 1

Обратно, пусть все члены последовательности (xn )

отличны от нуля и

для n -го её члена,

n 2 , выполнено

x2 = x

тогда

xn 1

n 1

xn 1

Следовательно,

xn 1

, или

= x q ,

где q =

По определению

n 1

последовательность (xn ) является геометрической прогрессией.

Пример 2.2. Известно, что

x1,

x2 ,

xn геометрическая прогрес-

сия. Известны числа S = x x x

и T =

. Найти

P = x1 x2

xn .

Решение. Обозначим знаменатель прогрессии через q . Преобразуем

искомую величину

x x x = x x q x qn 1 = xnq1 2 n 1 =

n(n 1)

= xnq

= (x2qn 1)

Пусть

q 1,

тогда

S = x

qn 1

Последовательность

q 1

1 / x1, 1 / x2 ,

1 / xn является геометрической прогрессией со знаме-

нателем 1 / q . Следовательно, T =

1 q n

, т. е. T

qn 1

q 1

x 1

x qn 1 (q

Отсюда заключаем,

что S / T = x2qn 1 . Последнее равенство, очевидно,

справедливо и при q = 1. Следовательно,

S n

T n

S n

Ответ.

T n

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 2.3. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%, то получится геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 39. Найти эти числа.

Решение. Обозначим данные числа x1, x2 , x3. По условию сумма x1 0,6x2 x3 равна 39. По характеристическому свойству арифмети-

ческой прогрессии 2x2 = x1 x3 и, следовательно, x1 0,6x2 x3= 2,6x2 .

Отсюда получаем, что x2 = 15 . По характеристическому свойству гео-

метрической

прогрессии

(0,6x )2 = x x .

Итак,

x x

= 30

x1 x3 = 81, т. е. по обратной теореме Виета x1

и x3 являются корнями

уравнения

x2 30x 81 = 0 . Корни этого уравнения равны 3 и 27, сле-

довательно,

x1 = 3 и x3 = 27 , поскольку последовательность

x1, x2 ,

по условию является возрастающей.

Ответ. 3 , 15 и 27.

Пример 2.4. Найти формулу n -го члена последовательности, задан-

ной рекуррентно: x =

; x

= 2x 1 ,

n N.

n 1

Решение.

Рассмотрим

вспомогательную

последовательность

yn = xn a , где число a

подбирается так, чтобы последовательность

была

геометрической

прогрессией.

Подставляя

xn = yn a

xn 1= yn 1 a

в рекуррентное соотношение, имеем

yn 1 a = 2( yn a) 1,

т.

е. yn 1 = 2yn (1 a) . Последовательность

будет геометричес-

кой прогрессией, если 1 a = 0 , т. е.

a = 1. Поскольку

y = x a =

формула общего члена геометрической прогрессии yn

запишется так:

2n 1

( y =

, q = 2)

. Тогда x = y a = 3 2n 2

n 2 .

Ответ.

= 3 2n 2 1,

n 2 .

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015550.54 Кб3LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб96M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688.23 Кб76M1_10_14.pdf
#
03.06.2015504.99 Кб115M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015581.89 Кб44M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб70M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб48M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб61M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб52M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб71M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб61M4_8_2010.pdf