all

3.R∞ = { ( 1, 2, . . .) | R } – числовые последовательности. Для (R ) введем

( ) = { R∞, = ( 1, 2, . . .) | ( 1, . . . , ) }

– цилиндр с основанием

Минимальная -алгебра, содержащая все цилиндры, называется борелевской -алгеброй в R∞ и обозначается (R∞). Формально:

(R∞) = ({ ( ) | N, (R ) })

Теорема 1 (о монотонных классах).

Пусть – -система на . Тогда ( ) = ( ).

Доказательство. Заметим, что ( ) – -алгебра, содержащая ( ) – -система, содержащая ( ) ( ) в силу минимальности.

Согласно лемме о - и -системах для того, чтобы доказать ( ) ( ), достаточно проверить, что ( ) является -системой.

Действительно, тогда ( ) будем -алгеброй, содержащей ( ) ( ) Рассмотрим следующую систему подмножеств:

1 = { ( ) | ˓→ ∩ ( ) }

Покажем, что 1, является -системой,

1.1? Для∩ = ( ) .

2.Пусть , 1 и . Верно ли, что 1?

Пусть . Тогда ( ) ∩ = ( ∩ ) ( ∩ )

Причем по свойству 2) -системы получаем, что ( ) ∩ ( ) 1

3.Пусть { , N} – последовательность из 1, причем ↑ . Верно ли, что 1?

Для ( ∩ ) ↑ ( ∩ ). Но ( ∩ ) ( ) ( ∩ ) ( ) по свойству 3)-системы. 1.

Мы показали, что 1 – -система.

В силу того, что – -система, 1 ( ) 1. В силу минимальности. Но

1 ( ) по построению.

Следовательно, ( ) = 1, т.е. ( ) ∩ ( )

Рассмотрим систему

2 = { ( ) | ( ) ∩ ( )) }

Точно также проверяется, что 2 – это -система. Тогда ( ) . В силу минимальности ( ) . По теореме ( ) = ( )

11

Независимость событий

Определение 1. События и на вероятностном пространстве ( , , ) называются незави-

симыми, если

( ∩ ) = ( ) ( )

Упражнение 4. Пусть и независимы. Тогда независимыми будут и такие пары:

, , ,

Определение 3. События 1 . . . называются независимыми в совокупности, если 6 , 1, . . . : 1 6 1 < . . . < 6 выполнено:

( 1 ∩ . . . ∩ ) = ( 1 ) . . . ( )

Определение 4. Системы событий 1 . . . , называются независимыми в совокупности, если 1 1, . . . , события 1 . . . – независимы в совокупности.

Лемма 5 (критерий независимости -алгебр).

Пусть 1 и 2 – -системы в . Тогда ( 1) и ( 2) независимы 1 и 2 – независимы.

Доказательство.

( ) очевидно из определения

( ) используем принцип подходящих множеств. Рассмотрим такую систему:

1 = { ( 2) | независимо с 1 }

Проверим, что 1 – это -система.

1. 1?

( ∩ ) = ( ) = ( ) ( ) независимы 1

2. Пусть , 1, причем . 1? Пусть 1. Тогда

( ∩ ) = (( ∩ ) ( ∩ )) = ( ∩ ) − ( ∩ ) =

( ) ( ) − ( ) ( ) = ( ( ) − ( )) ( ) = ( ) ( )

независимо с независимо с 1 1

3. Пусть ↑ , 1. Верно ли, что 1?

Да:

Пусть 1. Тогда ( ∩ ) ↑ ( ∩ ).

и непрерывны 1

Значит 1 – -система. По условию мы знаем, что 2 независима с 1 2 1 по следствию из теоремы о монотонности ( 2) 1 т.е. ( 2) независимо с 1

Рассмотрим по аналогии

2 = { | независимо с ( 2) }

12

Аналогично 2 – -система.

По теореме о монотонных классах, в силу того, что 1 2, получаем, что ( 1) 2( 1) независимо с ( 2).

Следствие 1. Пусть 1 . . . – -системы в . Тогда 1, . . . , независимы в совокупно- сти ( 1), . . . ( ) независимы в совокупности.

Определение 5. Пусть { } A – произвольный набор систем событий из . Тогда этот набор называется независимым в совокупности, если 1 . . . A, ̸= , системы 1 . . . независимыми в совокупности, тоесть любой конечный поднабор независим.

Вероятностная мера на (R, R)

Теорема 1 (Каратеодори, о продолжении меры). Пусть – некоторое множество, - алгебра на нем, – вероятностая мера на ( , ) Тогда ! вероятностная мера на ( , ( )), являющаяся продолжением меры , т.е ˓→ ( ) = ( )

Лемма 6. Пусть ( , ) – измеримое простанство, – -система в , а и – две вероятностные меры на ( , ). Тогда если | = | , то

| ( ) = | ( )

Доказательство. Рассмотрим

= { | ( ) = ( ) }

Покажем, что – это -система.

1.: ( ) = ( )

2.Пусть , .

( ) = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) = ( ) ( )

( ) = |непрерывность вероятностной меры| = lim ( ) = lim ( ) =

=|непрерывность вероятностной меры| = ( )

Доказали, что – -система. По условию по теореме о монотонных классах получаем, что ( ) , т.е.

| ( ) = | ( )

Следствие 1 (единственность в теореме Каратеодори).

Пусть и – два продолжения на ( ). Но – алгебра -система.

| = = |

по лемме получаем, что ( )

( ) = ( ), т.е продолжение единственно.

13

Пусть – вероятностная мера на (R, (R))

Определение 1. Функция ( ), R, заданная по правилу

( ) = ((−∞, ])

называется функцией распределения вероятностной меры .

Лемма 7 (свойства функции распределения).

Пусть ( ) – функция распределения вероятностной меры . Тогда

1.( ) - неубывающая

2.lim ( ) = 0, lim ( ) = 1

→−∞ →+∞

3. ( ) непрерывная справа.

Доказательство.

1. Пусть > . Тогда

( ) − ( ) = ((−∞; ]) − ((−∞; ) = (( , ]) > 0

2. Пусть → −∞ при → ∞. Тогда (−∞; ] ↓ ? по непрерывности вероятностной меры.

( ) = ((−∞, ]) −−−→ (?) = 0

→∞

Аналогично, если → +∞, то (−∞; ] ↑ R в силу непрерывности вероятностой меры.

( ) = ((−∞; ])) −−−→ (R) = 1

→∞

3. Пусть → + 0 Тогда (−∞, ]) ↓ (−∞; ] в силу непрерывности вероятностой меры.

( ) = ((−∞; ]) −−−→ ((−∞; ]) = ( )

→∞

Следствие 2. Функция имеет предел слева в каждой точке R, при этом точек разрыва у нее не более чем счетное множество.

Определение 2. Функция ( ) называет функцией распределения на R, если она удовлетворяет свойствам 1), 2), 3) из леммы.

Теорема 2 (взаимнооднозначное соответствие функции распределения и вероятностной меры) .

( ) – функция распределения на R. Тогда существует единственная вероятностная мера на (R, (R)), т.ч. ( ) является функцией распределния , т.е. R

( ) = ((−∞; ])

Идея доказательства Рассмотрим – алгебру, состоящую из конечных объединений непересекающихся полуинтервалов вида ( , ], т.е. имеет вид:

Рассмотрим функцию 0 на , заданную по правилу: Если имеет вид (*), то

∑

0( ) = ( ( ) − ( ))

=1

Легко видеть, что 0 обладает свойствами

14

1.0( ) [0, 1]

2.0(R) = (+∞) − (−∞) = 1

3.0 – конечно-аддитивна, т.е. ,

∩ = ? ˓→ 0( ) = ( ) + ( )

Если бы удалось доказать, что 0 счетно-аддитивна на , то 0 стала бы вероятностной мерой на (R, ) и по теореме Каратеодори её можно было бы продолжить единственным образом до вероятностной меры на (R, ( )). Но ( ) = (R).

Тогда бы ( ) была бы функциеи распределения меры

( ) = 0((−∞; ]) = ((−∞; ])

Классификация вероятностных мер и функций распределения на прямой

1 Дискретные распределения

Пусть R – не более чем счетное множество.

Определение 1. Вероятностная мера на (R, (R)), удовлетворяющая свойству (R| ) = 0, называется дискретной вероятностой мерой на . Её функция функция распределения на-

зывается дискретной.

Пусть = { } и положим = ({ })

Определение 2. Набор чисел ( 0, 1, . . .) называется распределением вероятностей на .

Как выглядит функция распределения дискретной верятностной меры ?

( ) – кусочно-постоянная разрывная в точках . При этом величина скачка равна

( ) = ( ) − ( − 0) = ({ }) =

Примеры дискретных распределений

1.Дискретное равномерное = {1, . . . , } , = 1, . . . , и = 1/ для .

2.Бернуллиевское

= {0, 1}, = 0, 1= (1 − )1− ,

где [0, 1] - параметр.

3. Биномиальное распределение

= {0, . . . , }

= (1 − ) − ,

где [0, 1] - параметр.

15

4. Пуассоновское распределение

= Z+

= 0, 1, 2, . . .

= − , > 0 − −параметр

!

Моделирование: биномиальное → пуассоновское

2 Абсолютно непрерывные распределения

Определение 3. Пусть ( ) – функция распределения вероятностой меры на R, причем для

R имеет место равенство

∫

( ) = ( )

−∞

где ( ) > 0 – неотрицательная функция т.ч

+∞

∫

( ) = 1

−∞

В этом случае вероятностная мера называется абсолютно непрерывной , а ( ) - абсолютно непрерывной функцией распределения . Функция ( ) называется плотностью распределения

(или просто плотностью)

Пример 9.

1. Равномерное распределение на отрезке [ , ].

Моделирование: измерения величины = + ошибка измерения. 3. Гамма распределение (с параметрами ( , ))

16

4. Экспоненциальное распределение(или показательное) (с параметром > 0).

{

1 − − , > 0

( ) =

0, иначе

Моделирование: время ожидания(время работы приборов) 5. Распределение Коши (с параметром > 0)

( ) = ( 2 + 2)

( ) = 1 arctan ( ) + 12

3 Сингулярные распределения

Определение 5. Пусть ( ) – функция распределения на R. Точка 0 R называется точкой роста для ( ), если для > 0

( 0 + ) − ( 0 − ) > 0

Определение 6. Множество R называется множеством лебеговой меры нуль, если для> 0 счетный набор интервалов (( , ), N) т.ч

Определение 7. Функция распределения ( ) называется сингулярной, если она непрерывна и её множество точек роста имеет лебегову меру нуль.

Теорема 1 (Лебег). Пусть ( ) – произвольная функция распределения. Тогда существует

разложение вида

( ) = 1 1( ) + 2 2( ) + 3 3( )

где

1 – дискретная функция рапределения2 – абсолютно непрерывная функция рапределения3 – сингулятная функция рапределения

1, 2, 3 > 0, 1 + 2 + 3 = 1

17

Вероятностные меры в R

Определение 1. Пусть – вероятносная мера на (R , (R ))

Тогда функция ( ), = ( 1, . . . , )

( ) = ((−∞, 1] × . . . × (−∞, ])

называется функцией распределения вероятностой меры в R .

Обозначения. Пусть ( ) = ( ( ), . . . , ( )) R

1

Будем писать ( ) ↓ = ( 1, . . . , ), если:

( ) > ( +1) > и ( ) → при → ∞

Лемма 8 (свойства многомерной функции распределения).

Пусть ( ) – функция распределения вероятностной меры в R Тогда:

, ( ) = ( 1, . . . , . . . ) − ( 1, . . . , . . . )

Тогда 1 < 1, . . . , < :

11, 1 . . . , ( ) > 0

Доказательство.

1. Если ( ) ↓ , то множество

(−∞, (1 )] × . . . × (−∞, ( )] ↓ (−∞, 1] × . . . × (−∞, ]

|по непрерывности вероятностной меры|

2.Если 1 . . . → +∞, то (−∞, 1] × . . . × (−∞, ] ↑ R

В силу непрерывности вероятностной меры:

lim ( ) = (R ) = 1

: →∞

Если же ( ) → −∞, → ∞, то (−∞, 1] × . . . × (−∞, ( )] × . . . × (−∞, ] ↓ ?

Отсюда в силу непрерывности вероятностной меры:

lim ( ) = (?) = 0

→−∞

3.Докажем, только для = 211 1 22 2 ( ) = 11 1 ( ( 1, 2)) − ( 1, 2)) = ( 1, 2) − ( 1, 2) − ( 1, 2) + ( 1, 2) =

=((−∞, 1] × (−∞, 2]) − ((−∞, 1] × (−∞, 2]) − ((−∞, 1] × (−∞, 2])+

+((−∞, 1] × (−∞, 2]) = (( 1, 1] × ( 2, 2]) − ((−∞, 1] × (−∞, 2])+

+((−∞, 1] × (−∞, 2]) = (( 1, 1] × ( 2, 2]) > 0

18

Теорема 1 (о взаимно однозначном соответствии).

Если ( ), R , удовлетворяет свойствам 1) - 3) из леммы, то ! вероятностная мера в (R , (R )), для которой ( ) является функцией распределения т.е.

1 < 1, . . . , <11 1 . . . ( ) = (( 1, 1] × . . . × ( , ])

Примеры многомерных функций распределения

Пример 11. 1. Пусть 1( 1), . . . , ( ) – одномерные функции распределения. Тогда

( 1, . . . , ) = 1( 1) . . . ( )

—многомерная функция распределения в R .

Заметим, что

2.Пусть ( 1, . . . ), R - функция в R т.ч

∫

В этом случае ( 1 . . . ) называется плотностью функции распределения ( 1 . . . ) (или просто плотностью). Ясно, что

∂( 1 . . . ) = ∂ 1 . . . ∂ ( 1 . . . )

Вероятностные меры в R∞ = RN

Пусть – вероятностная мера в (R∞, (R∞)). Для (R ) введем

( ) = { R∞ | ( 1, . . . , ) }

19

— цилиндр с основанием

Тогда ( ) = ( ( )) является вероятностной мерой в (R∞, (R∞)). При этом имеет место свойство согласованности:

+1( × R) = (R)

Теорема 2 (Колмоговора, о мерах в R∞).

Пусть задана вероятностная мера в (R∞, (R∞)), причем для { , N} выполнено

свойтсво согласованности.

Тогда ! вероятностная мера в (R∞, (R∞)), т.ч. (R ):

( ) = ( ( ))

Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах

Пусть ( , ) – дискретное вероятностное пространство.

Определение 1. Отображение : → R называется случайной величиной.

Т.к не более чем счетно, то принимает не более чем счетное число значений ( 1, 2, . . .) Введем события = { | ( ) = } – состоит в том, что приняло значение .

∑ ∑

= ( ) = ( = ) и = 1 = ( )

Определение 2. Набор значений ( 1, 2, . . .) и вероятностей ( 1, 2, . . .), с которыми эти значения принимаются, вместе образуют распределение случайной величины .

Замечание. 1 . . . – случайные величины, : R → R – функция, то ( 1, . . . , ) – тоже случайная величина.

Определение 3. Пусть – случайная величина со значениями ( 1, 2, . . .) и – случайная величина со значениями ( 1, 2, . . .). Случайные величины и называются независимыми, еслисобытия { = } и { = } независимы, т.е

( = , = ) := ({ = } ∩ { = }) = ( = ) ( = )

Определение 4. Пусть 1, . . . - случайные величины, принимает значения ( (1 ), (2 ), . . .). Тогда 1, . . . называют независимыми в совокупности (взаимно независимыми), если 1, . . .

выполнено:

Пример 12.

1.Бросок игральной кости.

– число очков, выпавшее на кости. Распределение – равномерное на {1, . . . 6}

2.Пусть – событие. Тогда случайная величина

{

1,

( ) =

0, !

Называется индикатором события . Другое обозначение: { }.

20