1.5. Полигон и гистограмма

Систематизация первичных экспериментальных данных заключается в составлении статистического распределения. С целью наглядности могут быть построены соответствующие полученному распределению полигон или гистограмма.

Полигон и гистограмма являются графическими изображениями статистических распределений. Полигоны строят и для дискретных признаков с малым числом возможных значений x_i , не требующим их группировки, и для дискретных и непрерывных признаков с большим числом возможных значений, когда необходима группировка значений.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки

(x ₁,n ₁), (x ₂ ,n₂), …, (x_k,n_k) , гдеx_i - варианты, аn_i - их частоты (для признаков с малым числом возможных значений), или ломаную линию с вершинами в точках (,n_i), где- середины интервалов разбиения, аn_i - соответствующие им частоты (для признаков с большим числом значений). Для построения полигона частот нужно: 1) на оси абсцисс отложить вариантыx_i (или), а на оси ординат – соответствующие им частотыn_i ;

2) соединить точки (x_i,n_i) или (,n_i) отрезками прямых. На рис. 1.1. изображен полигон частот, являющийся графическим изображением выборочного распределения частот, полученного в примере 1.2.

Рис. 1.1.

Полигоном относительных частотназывают ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x_i , ) для признаков с малым числом возможных значений или ломаную с вершинами в точках (,) для признаков с большим числом значений. Для построения полигона относительных частот нужно: 1) на оси абсцисс отложить вариантыx_i (или), а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты ; 2) соединить точки (x_i,) или (, ) отрезками прямых. На рис. 1.2. изображен полигон относительных частот, соответствующий выборочному распределению относительных частот, полученному в примере 1.2.

Рис. 1.2.

Гистограммы обычно строят для признаков с большим числом возможных значений. Построению гистограммы предшествует группировка значений признака и нахождение его статистического распределения.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длинойd, а высоты равныh_i = n_i / d. Площадь прямоугольника с номером iравнаd ·h_i = n_i . Поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборкиn. На рис. 1.3. изображена гистограмма частот, соответствующая выборочному распределению частот, полученному в примере 1.3.

Рис. 1.3.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длинойd, а высоты равныy_i = _i / d. Площадь прямоугольника с номеромiравнаd ·y_i = _i. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот _i , т.е. единице.

Вопросы и задачи.

1. Объясните различие понятий генеральной и выборочной совокупности. Приведите примеры генеральных совокупностей.

2. Каково общее правило составления репрезентативных выборок?

3. Как подобрать длину интервала разбиения измеренных значений признака?

4. Какие существуют виды статистических распределений? Опишите процесс получения этих распределений (отдельно для дискретных и непрерывных признаков).

5. Чему должна быть равна сумма частот n_i , представленных в статистическом распределении выборки? Сумма относительных частот?

6. Что называют полигоном частот, полигоном относительных частот, гистограммой частот, гистограммой относительных частот?

7. Чему должна быть численно равна площадь гистограммы частот (относительных частот)?

8. Результаты измерений длины l_i( в мм ) сосновых шишек (Богучанский лесхоз, Шиверское лесничество, сосняк толокнянково–беломошный, возраст деревьев ≈ 80 лет) приведены в таблице:

26, 28, 29, 25, 30, 24, 22, 28, 30, 26, 29, 29, 25, 28, 29, 26, 25, 27, 24, 27,

31, 27, 28, 26, 27, 29, 31, 30, 26, 27, 23, 28, 27, 26, 27, 26, 27, 32, 27, 28.

Составить выборочные распределения частот и относительных частот.

9. Результаты подсчета числа x_i клеток по ширине древесных колец лиственницы приведены в таблице. Кольца, в которых производился подсчет числа клеток, сформированы в период с 1911 по 1993 год. Объем выборкиn = 83 .

12, 11, 13, 14, 14, 13, 14, 12, 12, 10, 9, 6, 10, 8, 9, 12, 11, 10,

8, 8, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 8, 5, 6, 7, 7, 7, 5, 5, 6, 6,

8, 6, 5, 7, 8, 7, 9, 8, 8, 9, 7, 8, 8, 6, 5, 12, 8, 9,

9, 10, 9, 9, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 7, 7, 7, 6, 6, 8, 7, 6,

6, 6, 6, 5, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 7.

Составить распределения частот и относительных частот числа клеток в кольце.

10. Измерение (в см) диаметров стволов сосен (пробная площадь Томского стационара ИЛ СО РАН, сосняк осоково-вейниково-мшистый, возраст деревьев от 69 до 133 лет) дало следующие результаты:

20, 23, 35, 24, 24, 18, 21, 28, 23, 35, 28, 20, 29, 21, 34,

32, 30, 31, 26, 33, 25, 36, 29, 18, 25, 34, 32, 26, 29, 25.

Построить для данной выборки: 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот;

3) гистограмму частот; 4) гистограмму относительных частот.

11. В таблице приведены значения x_i (в мм) шириныX древесных колец лиственницы, сформированных за годы, указанные в левом столбце таблицы (дерево сохранилось в аллювиальных отложениях бассейна реки Индигирки):

годы ширина x_iкольца (в мм)

920 0,71 0,16 0,38 0,58 0,80 0,27 0,36 0,76

930 0,57 0,37 0,48 0,36 0,49 0,42 0,48 0,67 0,33 0,57

940 0,44 0,37 0,30 0,52 0,51 0,38 0,38 0,30 0,25 0,30

950 0,44 0,45 0,55 0,24 0,46 0,46 0,43 0,48 0,26 0,41

960 0,42 0,50 0,57 0,73 0,62 0,49 0,56 0,26 0,42 0,42

970 0,44 0,76 0,57 0,48 0,62 0,48 0,16 0,17 0,35 0,49

980 0,49 0,56 0,46 0,49 0,35 0,52 0,54 0,50 0,31 0,47

990 0,89 0,43 0,12 0,52 0,14 0,25 0,14 0,61 0,67 0,40

1000 0,32 0,80 1,12 0,81 0,61 0,92 0,40 0,62 0,94 0,69

1010 0,96 1,05 0,87 1,07 0,66 1,02 0,63 0,69 0,84 0,33

1020 0,48 0,47 0,26 0,16 1,06 0,73 0,70 0,80 0,80 0,31

1030 0,30 0,36 0,29 0 0,34 0,17 0,39 0,44 0,20 0,36

1040 0,32 0,28 0,35 0,19 0,26 0,29 0,42 0,31 0,33 0,13

1050 0,05 0,10 0,10 0,27 0,45 0,33 0,43

Построить гистограммы частот и относительных частот значений признака X .

14