Образец выполнения конртольной работы .
Задание 1. Найти матрицу, обратную к матрице
Решение:
Вычислим определитель матрицы А
Обратная матрица А-1 вычисляется по формуле , где АijТ – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.
а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы
; ;
; ;
; ;
б) Составим матрицу алгебраических дополнений
в) Транспонируем матрицу Аij и получим АijТ
г) Вычисляем обратную матрицу
д) Для проверки умножим А-1 на А, получим
Ответ: .
Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
.
Доказать ее совместимость и решить тремя способами:
методом Гаусса;
методом Крамера;
средствами матричного исчисления.
Решение:
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и осуществляется в два этапа:
а) прямой ход заключается в приведении системы к ступенчатому (треугольному) виду; при этом, последнее уравнение системы имеет одну неизвестную; б) Обратный ход заключается в последовательном определении неизвестных из уравнений системы.
С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы сведем ее к треугольному виду. Если в процессе СЛАУ методом Гаусса какая-либо строка примет вид 0=0, это будет свидетельствовать о том, что СЛАУ имеет бесконечное множество решений, если же возникает строка 0 = const, то система несовместна.
. Ответ: (0,1,1).
Методом Крамера
При СЛАУ совместна и, причем, она имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера, где ∆ - определитель матрицы А системы, а ∆х, ∆у, ∆z – определители для неизвестных (х,у,z), полученные заменой соответствующего столбца, составленного из коэффициентов при неизвестных, на столбец свободных членов.
. Ответ: (0,1,1).
средствами матричного исчисления
СЛАУ удобно записать в матричной форме А·Х=С, где А – матрица системы, Х – столбец неизвестных членов, С – столбец свободных членов.
Из матричного уравнения следует Х = А-1С, (*) где А-1 – обратная матрица, которая вычисляется по формуле , где АijТ – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.
Вычислим определитель матрицы А (смотрите выше)
а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы
; ;
; ;
; ;
б) Составим матрицу алгебраических дополнений
в) Транспонируем матрицу Аij и получим АijТ
г) Вычисляем обратную матрицу
Согласно формуле (*) столбец решений
.
Таким образом, СЛАУ: х = 0, у = 1, z = 1, что подтверждается в ходе проверки (подстановки полученных значений в каждое уравнение системы).
Задание 3.
Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1;2), B(5;-6;2), С(1;3;-1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
Решение: Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и, то есть. Имеем:,. Тогда векторное произведение этих векторов равно.
(*).
Известно, что площадь треугольника равна (**).
Приравняем равенства (*) и (**) и определим высоту h
. Ответ: h = 5.
Задание 4.
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4
А1 (2; -1; 1), А2 (5; 5; 4), А3 (3; 2; 3), А4 (4; 1; 3).
Найти:
длину ребер A1A2; A1A3; A1A4;
угол между ребрами: A1A2 и A1A4;
площадь грани A1A2А3;
объем пирамиды;
длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3.
Решение:
,
,
,
Пусть α угол между ребрами A1A2 и A1A4. Скалярное произведение векторов изапишется в следующем виде:
.
Площадь грани A1A2А3 будем вычислять, исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника A1A2А3 равна .
.
.
Объем пирамиды численно равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, то есть , и .
.
Известно, что , гдеS – площадь основания (грань A1A2А3) пирамиды, а h – высота пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3. .
Задание 5.
а) Найти острый угол между двумя плоскостями .
Решение: Угол между двумя плоскостями иравен углу между их нормальными векторамиии определяется по формуле
.
Из формулы (*) получим, если учесть, что на основании уравнения (I) А1 = 5; В1 = 3; С1 = 4, а из (II) А2 = 3; В2 = -4; С2 = -2,
. В формуле (*) следует взять абсолютную величину правой части, так как надо найти острый угол между плоскостями.
б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей Р1, Р2 и точку М(2,-1,3).
Решение: Две пересекающиеся плоскости Р1 и Р2 определяют (задают) пучок плоскостей, уравнение которого имеет вид 5x–3y+4z–4+t(3x–4y–2z+5)=0, где t – параметр. Все плоскости этого пучка проходят через прямую пересечения плоскостей Р1 и Р2 (ось пучка). Из множества плоскостей пучка выбираем ту (определяем значение t), которая проходит через точку М: значение t должно быть таким, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнению
.
Уравнение искомой плоскости
.
Задание 6. Даны уравнения высот треугольника 2х – 3у + 1 = 0 и х + у = 0 и координаты одной из его вершин А(1;2). Найти уравнения сторон треугольника.
Решение: Точка А(1;2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям:
2·1 - 3·2 + 1 ≠ 0 и 1 + 2 ≠ 0. Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника В и С. Назовем их СД и ВЕ, ,. Пусть высота СД имеет уравнение х + у = 0, а высота ВЕ имеет уравнение 2х – 3у + 1 = 0.
I способ. Так как , то уравнение АС мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных ВЕ, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку А(1;2).
Если две прямые перпендикулярны, то выполняется условие, то есть коэффициенты при х и у меняются местами, а также изменяется знак при у.
Уравнение стороны АС
Уравнение стороны АВ
Уравнение стороны ВС
Сначала следует найти координаты точек В и С, как точек пересечения прямых ВЕ и АВ и прямых СД и АС, соответственно.
Теперь найдем уравнение ВС, воспользовавшись уравнение прямой, проходящей через две точки В(-2;-1) и С(7;-7).
II способ. Если две прямые заданы уравнениями и, то условия перпендикулярности двух прямых имеет вид.
Уравнение стороны АС ()
Определим угловой коэффициент высоты ВЕ. Преобразуем уравнение высоты ВЕ:.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х1;у1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом, (**).
Точка А(1;2) принадлежит прямой АС, поэтому подставим ее координаты в уравнение (**). .
Уравнение стороны АВ ()
Угловой коэффициент высоты СД, имеющей вид, равен.
Уравнение стороны ВС рассмотрено выше.
Задание 7. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 4х, проведенной из точки А(-2;-1).
Решение: Уравнение прямой будем искать в виде . Так как точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение (*), получим тождество. Далее, прямая (*) и парабола у2 = 4х имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо у2 его выражение из второго уравнения. Получим . Это – квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом,. Теперь для параметровk и b прямой (*) имеем два условия: (**) и (***). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:
. Подстановкой вместо b в первое уравнение его выражения из второго, получим , откуда находим, что. Система имеет два решения:. Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения:.
Литература:
Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики М.: Наука, 1975 г.
Сборник задач и упражнений по высшей математике. А.В.Кузнецов и др. – Минск: Высш. Школа, 1994 г.
Сборник задач по курсу математического анализа. Г.Н.Берман – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1970
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 3. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1971.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982
Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. В 2-х частях. – М.: Айрис Пресс, 2004.
Каплан И.А., Пустынников В.И. Практикум по высшей математике. В 2-х томах. – М.: ЭКСМО, 2006.
Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. Высшая математика: методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1985. – 144 с.
Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2008. – 320 с.