Аналитическая геометрия: прямая и плоскость и кривые второго порядка.

Задание 5.

1. Уравнение прямой написать в каноническом и параметрическом видах.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + 4у – 5 = 0 и 7х + 5у + 11 = 0 и точку А(5;0).

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-3;-4) и параллельно прямой: .

4. Доказать что прямые l₁ и l₂ параллельны .

5. Определить угол φ, образованный двумя прямыми: 3х – у + 5 = 0 и 2х + у – 7 = 0.

6. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2;0;-1) параллельно прямой х = -2 + t, у = 2t, z = 1-t/2.

7. Показать, что прямая лежит в плоскости х+2у–4z+1=0.

8. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(-5;3;-2) и В(-3;2;-2).

9. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(-2;3;5) перпендикулярно плоскости 3х + 5у – 6z – 11 = 0.

10. Найти угол между прямойи плоскостью 3х+2у–4z+12=0.

11. Дана прямая 2х + 3у + 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2;1) под углом в к данной прямой.

12. Найти угол между прямыми:

13. Найти точку пересечения прямой и плоскости: ; х + у - 2z – 4 = 0.

14. Доказать что прямые l₁ и l₂ параллельны .

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + 2у + 3 = 0, 2х + 3у + 4 = 0 и параллельно прямой 5х + 8у = 0.

16. Найти точку пересечения прямой и плоскости: ; х – 2у +z – 15 = 0.

17. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р(2;0;-1) и точку М(1;-1;3) перпендикулярно к плоскости 3х + 2у – z = 15.

18. Из точки А(-1;-1;4) опущен на плоскость перпендикуляр; его основание В(2;4;5). Найти уравнение плоскости и уравнение перпендикуляра.

19. Найти угол между плоскостями α и β, если α: х – у + 1 = 0, β: у – z+1=0.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. М₁(2;3;-1) и М₂(1;0;3), перпендикулярно плоскости 3х – у + 3z + 2 = 6.

Задание 6.

1. Уравнение одной из сторон квадрата х + 3у – 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(-1;0) - точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

2. Даны уравнения одной из сторон ромба х – 3у + 10 = 0 и одна из его диагоналей х + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

3. Уравнения двух сторон параллелограмма х + 2y + 2 = 0 и х + у – 4 = 0, а уравнение одной из его диагоналей х - 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

4. Даны две вершины А(-3;3), В(5;-1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

5. Даны вершины А(-3;-2), В(4;-1), С(1;3) трапеции АВCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х – 4у + 15 = 0 и 4х+y–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

7. Даны две вершины А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

8. Даны уравнения двух высот треугольника x + y = 4 и у=2х и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

9. Даны уравнения двух медиан треугольника х – 2у+1=0 и у - 1=0 и одна из его вершин А(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

10. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х-2у-8=0 и 3х-2у–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А (5;0) относятся как 2:1.

12. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(-1;0) вдвое меньше расстояния ее от пряной х = -4.

13. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х + 8 = 0 относятся, как 5:4.

14. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).

15. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2;0) и от пряной 2х + 5 = 0 относятся, как 4:5.

16. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В (26;0).

17. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у – 4 = 0.

18. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х² + у² = 4х.

19. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у + 2 = 0.

20. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(-4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

Задание 8.

1. Найти координаты центра и радиус окружности x² + y² – 4x +8у – 16 =0.

2. Найти координаты центра и радиус окружности 9x²+9y²–42x-54у–95=0.

3. Найти координаты центра и радиус окружности x² + y² – 4x + 6у – 3 = 0.

4. Найти координаты центра и радиус окружности x² + y² – x + 2у – 1 = 0.

5. Составить каноническое уравнение окружности, если ее центр лежит в точке С(-4;5) и окружность проходит через точку М(-1;1).

6. Составить уравнение хорды окружности x² + y² = 49, делящейся в точке А(1;2) пополам.

7. Составить каноническое уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В(1;4), если ее центр лежит на прямой х + у – 3 = 0.

8. Преобразовать уравнение 4x² + 3y² – 8x + 12y – 32 = 0 в каноническое уравнение эллипса, найти его полуоси, координаты центра и эксцентриситет. Построить линию.

9. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами 2с = 10, а большая ось 2а = 16. Построить линию.

10. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=4, а расстояние между фокусами 2с = 10. Построить линию.

11. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая полуось а = 12, а эксцентриситет ε = 0,5. Построить линию.

12. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей а + в = 12, а расстояние между фокусами . Построить линию.

13. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x² + 9y² = 144. Построить линию.

14. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и. Построить линию.

15. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, зная что точка принадлежат эллипсу, а эксцентриситет эллипса. Построить линию.

16. Преобразовать уравнение 3x² + 12x - y² + 9 = 0 в каноническое уравнение гиперболы, найти ее полуоси, координаты фокусов, уравнения асимптот. Построить линию.

17. Уравнение асимптот гиперболы у = ±х/2, а расстояние между фокусами 2с=10. Найти каноническое уравнение гиперболы. Построить линию.

18. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁(-2,4) и F₂(12,4), а длина мнимой оси 2в = 6. Построить линию.

19. Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М₁(6,-1) и . Построить линию.

20. Дано уравнение гиперболы 5x² - 4y² = 20. Найти: длины его полуосей; координаты фокусов; эксцентриситет гиперболы; уравнение асимптот. Построить линию.