320

Цель работы:

•Изучить сериальные зависимости в спектре атома водорода.

•Экспериментально измерить длины волн в серии Бальмера.

•Определить постоянную Ридберга, потенциал ионизации атома водорода.

Порядок подготовки и проведения работы:

I. Изучить и законспектировать в рабочую тетрадь следующие вопросы:

•Несостоятельность классической теории атома.

•Постулаты Бора. Атом водорода и его спектр по теории Бора (вывод формул). Затруднения теории Бора.

•Атом водорода в квантовой механике.

II. Изучить на рабочем месте в лаборатории сущность метода и

лабораторную установку.

III. Пользуясь указаниями, имеющимися на рабочем месте в лаборатории, выполнить работу, а полученные данные занести в таблицы протокола.

IV. Подготовить к зачету отчет о работе и знать ответы на следующие вопросы:

1. Постулаты Бора и их значение для развития атомной физики. Недостатки гипотезы Бора.

2.Атом водорода в квантовой механике.

3.Какие физические величины, характеризующие состояния атома, а также электронов в атоме, принимают дискретные значения?

4.Энергия и потенциал ионизации атома.

5.Какое состояние называют нормальным или основным? Какие стационарные состояния атома называют возбужденными?

6.Какими способами можно перенести атом из нормального состояния в возбужденное?

7.В какие серии сгруппированы линии спектра испускания атома водорода, и какой формулой они описываются?

8.Изобразите на энергетической схеме переходы электрона соответствующие излучению сериальных линий.

9.Укажите, какие значения могут принимать квантовые числа в формуле Балъмера для каждой серии.

10.Как устроен монохроматор? Изобразите его принципиальную схему.

11.Как определяют длины волн с помощью монохроматора?

Литература:

♦Трофимова Т.И. Курс физики. М., Высшая школа, 1985. стр. 308-314.

♦Матвеев А.Н. Атомная физика. М., Высшая школа, 1989. §14, 30.

♦Шпольский Э. В. Атомная физика. М., Наука, 1974. т.1 гл. 7-8, т.2 §57-59.

1. Краткая теория атома водорода.

1.1.Сериальные закономерности в спектрах атомов.

Одна из важнейших закономерностей строения атомных спектров - их сериальная структура. Линии линейчатого спектра атомов газа, находящегося при низком давлении, могут быть объединены в определенные, закономерно построенные группы - серии. Наиболее простой спектр имеет атом водорода. Длины волн его спектральных линий определяются сериальной формулой Бальмера - Ритца:

где λnm - длина волны спектральной линии; R - постоянная Ридберга; n - номер

энергетического уровня, на который совершается переход электрона после излучения; m - номер уровня, с которого переходит электрон при излучении атомом энергии.

Положение линии в атомных спектрах может быть объяснено только на основе квантовых представлений. Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: ион гелия

He+ , двукратно ионизированный литий и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

1.2.Расчет атома водорода с точки зрения теории Бора.

В основе расчета лежат два постулата Бора и классический закон движения Ньютона.

Первый постулат Бора:

Электрон в атоме может вращаться только по строго определенным стационарным орбитам, радиусы которых определяются из условия

pn = meυnrn = n 2hπ = nh, (2)

где pn - момент импульса электрона на n -ой орбите; n - главное квантовое число, принимающее положительные целые значения 1,2,...,∞ и определяющее принадлежность электрона к той или иной орбите; h = 6,63 10−34 Дж·с - постоянная Планка. Все другие орбиты "запрещены". Таким образом, Бор постулировал, что энергия электрона в атоме может принимать строго определенные дискретные значения E1, E2 , ...., En .

Второй постулат Бора:

Вращаясь по стационарным орбитам, электрон не излучает и не поглощает электромагнитных волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона из стационарного состояния с большим значением энергии Ek в другое

стационарное состояние с меньшим значением энергии Ei . При этом

излучается квант энергии (фотон) строго определенной частоты. Излучение атома монохроматично, и частота определяется фундаментальным соотношением (условие частот Бора)

ν = Ek − Ei . (3) h

Из соотношения (5) следует, что излучение происходит при переходе электрона с внешних орбит на внутренние. Если же электрон переходит с внутренних орбит на внешние, то энергия поглощается.

2-ой закон Ньютона:

Атом водорода и сходные с ним ионы (модель водородоподобного атома) состоят из ядра с зарядом + Ze и одного электрона с зарядом − e где Z - порядковый номер элемента в периодической системе элементов Д.И.Менделеева.

Кулоновская сила взаимодействия между ядром и электроном играет роль центростремительной силы, равной для круговой орбиты

где me - масса электрона, rn - радиус орбиты,υn - скорость электрона на орбите.

Совместное решение (2) и (4) дает для радиусов стационарных орбит и скоростей электрона на этих орбитах следующие выражения:

rn = πh2εo 2 n2 , me Ze

Зная υn и rn , можно найти кинетическую Ek и потенциальную Ep энергии электрона на n - ой орбите:

Полная энергия En электрона в атоме водорода:

Спектральные линии возникают при переходе электронов с одного уровня на другой (более низкий), а энергия, испускаемая квантом, равна разности энергий этих двух уровней:

На рис.1. изображены уровни энергии атома водорода, а стрелками обозначены переходы между уровнями, соответствующие спектральным линиям. Из рисунка видно, что линии в спектре водорода можно разложить по сериям: для всех линий серии, значение n остается постоянным, а m может принимать значения любые от m = n + 1 до m = ∞ .

В спектр испускания атома водорода входит несколько серий, расположенных в различных областях спектра:

а) серия Лаймана - крайняя ультрафиолетовая область

где n =1, m = 2,3,...,∞ ;

б) серия Бальмера - видимая и близкая ультрафиолетовая области

где n = 2 , m = 3,4,...,∞ ;

в) серия Пашена - инфракрасная область спектра

где n = 3 , m = 4,5,..., ∞ ;

г) серия Брэккета - инфракрасная область спектра

где n = 4 , m = 5,6,...,∞ ;

д) серия Пфунда - дальняя инфракрасная область спектра

где n = 5 , m = 6,7,..., ∞ .

Как видно из рисунка, головным линиями каждой серии являются линии, длины волн которых могут быть рассчитаны по формуле:

Переходы, обозначенные жирными линиями, соответствуют головным линиям серии и определяются формулой (9). Переходы на заштрихованные уровни соответствуют границе серии и определяются формулой (9), если в ней m = ∞ , т.е. их длины волн выразятся формулой

1 = R 1 . (10)

λmn n2

Особый интерес представляет определение границы серии Лаймана. Зная частоту граничной линии серии Лаймана, можно определить энергию, необходимую для отрыва электрона от атома водорода, находящегося в нормальном, или основном состоянии с n =1. Эта энергия называется энергией ионизации и вычисляется по формуле:

Eион = hcR . (11)

Следует отметить, что экспериментально найденное значение постоянной Ридберга отличается от теоретического значения, вычисленного по формуле (8), что видно из следующих данных:

Rтеор =109737,303см−1, Rэксп =109677,581см−1.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающем значение (13):

где E - полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально - симметричным, то для решения уравнения (14) обычно используют сферическую систему координат r, θ, ϕ . Не вдаваясь в

математическое решение этой задачи, рассмотрим важнейшие результаты, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение типа (14) имеет решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции ψ , только при собственных значениях энергии

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Возможные значения E1, E2 , E3 показаны на рис. 2. в виде горизонтальных прямых. Самый

нижний уровень E1, отвечающий возможной минимальной энергии, - основной, все остальные ( E2 , E3 и т.д.) - возбужденные. При E < 0 движение электрона

является связанным - он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Из рисунка следует, что по мере роста n энергетические уровни располагаются теснее, и при n = ∞ E∞ =0 . При E > 0 движение электрона

является свободным - он может уйти в бесконечность: область непрерывного спектра E > 0 (заштрихована на рис. 2.) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома равна

Ei = −E1 = mee4 =13,55 эВ. (16)

8εo2h2

Выражение (15) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.