2.6.8. Кризис в математике. Теоремы о неполноте знаний Геделя. Проблема познаваемости мира

Одновременно с физикой в 1900-1930 годах кризис охватил и такую абсолютно точную науку, как математика. Его в полной мере можно рассматривать как кризис всего формально-логического способа мышления, или даже кризис рассудка, ибо впервые была вскрыта его недостаточность. Обнаружилось, что формально-логический способ мышления при всех тех блестящих результатах, которые несет с собой его применение в частных и специальных проблемах, обнаруживает свою полную непригодность, как только его пытаются применить прямо или косвенно к отражению всеобщего, которое оказывается неизбежно противоречивым, и в силу этой противоречивости неизменно ускользает из сферы действия формально-логических законов. Это объясняло причину парадоксов, в которые погрузилось естествознание, опирающееся на точные методы.

О парадоксах формальной логики известно уже давно. Достаточно вспомнить парадокс лжеца, который заявляет: «все, сказанное мною, есть ложь». Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.

Оказывается, что для любой формально-логической системы, претендующей на точность и непротиворечивость, свойственна подобная парадоксальность, приводящая к отрицанию исходных положений (постулатов, аксиом) при попытках построения глобальных обобщений. Впервые фор-

мально точно это было показано Куртом Гёделем, который в 1931 году на примере арифметики дал доказательство так называемых «теорем о непол-

ноте знаний».

Теорема 1: в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует истинное утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема 2: непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Теорема о неполноте знаний утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом теории (системе) существуют истинные, но

78

недоказуемые утверждения. Примером является выше указанный парадокс лжеца.

Если в качестве такой системы выступает наука, то все попытки придать ей непротиворечивость при сохранении точности и детальности обречены на неудачу. Развивая точную систему знаний до формулировки итогового обобщения, в пределе логических рассуждений мы рискуем прийти к выводам, в корне отрицающим исходные аксиомы. Другой пример: если предметом спора двух специалистов в какой-либо системе знаний является вопрос, касающийся какого-либо обобщения, каждый из них, следуя строго последовательно логике рассуждений, может прийти к выводам, которые будут противоречить друг другу. Выход в этом случае ищется в проведении дополнительных экспериментальных исследований. Именно природа, как некая метасистема по отношению к любой системе человеческих знаний доопределяет предмет спора, лишая его противоречивости. После этого, как правило, рождается новый «закон природы», который становится новой аксиомой, постулатом. После этого один из оппонентов должен признать, что он был не прав.

Все это рождает философскую проблему принципиальной непознаваемости мира с помощью точных методов. Научный метод хорошо вскрывает детали и механику явлений, порождая успех практического применения полученных результатов, например, в технике. Однако сама причина, суть, природа этой механики, остается за пределами рассмотрения. Поэтому современная физика, превратилась, по сути дела, в продолжение математики, совершенно утратив все надежды на понимание природы изучаемых явлений. Мы знаем, какими уравнениями описывается явление, но не понимаем, что оно из себя представляет. Красота уравнений полностью вытеснила из физики все попытки понять их суть.

79