Инженерная графика

Плоскости

параллельные

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости

соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости,

то эти плоскости ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Следовательно, на чертеже у параллельных

плоскостей должны быть соответственно

параллельны

одноименные

п р о -

е к ц и и

двух пересекающихся прямых,

У

лежащих в каждой из плоскостей.

Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чер-

Т

теже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных

плоскостей.

h" 1" Н

На рис. 4.32 показано построение

плоскости (3, проведенной через задан-

Б

ную точку А(А"'А'),

параллельно задан-

ной плоскости a(mlln).

й

Для решения задачи следует выпол-

нить следующие графические действия:

1-е

действие.

В заданной плоско-

сти а построить вспомогательну

пря-

и

мую, например, горизонталь h(h"h'),

то

есть создать в плоскости

пересекающие-

ся прямые.

2-е действие. Через заданную точ-

ку А(А'"А')

провест

о

а(т II п); (3(а П b) II a

две пересекающие-

ся прямые Ь и

d,

т

двум

параллельные

Рис. 4.32

пересекающимся

прямым /77 и /? задан-

ной плоскости а:и

- прямую b(b",b') параллельно прямой т(т"т') (или n(n"nt);

з

- прямую d(d",d') параллельно вспомогательной прямой h(h"h').

Построенная

плоскость (3(bnd)

будет параллельна

заданной плоскости

a(mlln),

так как две пресекающиеся прямые т и h плоскости а соответственно

параллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной плоскости /3.

е

Параллельность

прямой и плоскости

Р

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она парал-

лельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже

(см. рис. 4.32) прямая,

например,

Ь, параллельна плоскости а(т//п),

так как

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения от-

У

носительно плоскостей проекций, поэтому при пересечении двух плоскостей

возможны три случая:

Т

1-й случай - обе плоскости занимают частное положение относительно плос-

костей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проеци-

рующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересече-

нии вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

Н

На рис. 4.33 изображены две пересекающие-

Б

ся фронтально-проецирующие плоскости

а и /3,

элементом пересечения которых является фрон-

тально-проецирующая прямая /77 (соответственно

прямой)

горизонтально-проецирующие плоскости пересе-

каются по горизонтально-проецирующей

.

пересечени

Фронтальная т(т") и вырожденная в точку про-

екция линии пересечения лежит на

и

а А. V; (3L

V

прямая

фронтальных, вырожденных в прямые, проекци-

ях (следах) плоскостей, а

горизонтальная

т(т')

проекция линии

пересечения

-

, перпен-

дикулярная оси х.

т

2-й случай - только одна из плоскостей за-

нимает частное положение относительно плоско-

пересечени

стей проекций. В этом случаеодна из проекций

a(av) П j S f j S ^ m l V

з

я совпадает с вырож-

искомой линии

Рис. 4.33

денной проекцией плоскости частного положе-

о

ния, а другую проекцию линии пересе-

чения требуется построить.

плоскост

На рис. 4.34 изображены две пе-

ресекающиеся плоскости,

из

которых

е

ь а, заданная своим горизон-

тальным следом

СГ/, является

горизон-

Р

тально-проецирующей, а другая плос-

кость, заданная треугольником ABC,

-

плоскость общего положения. Горизон-

тальная проекция

MN(M'N')

искомой

линии пересечения плоскостей в этом

случае совпадает со следом ОТ/, плоско-

МТУ'

сти а, а фронтальная проекция M"N"

совпадает

общего

положения

линии пересечения

построена по при-

со следом

плоскости

a(Oh)

надлежности точек

М и

N сторонам

Рис. 4.34

треугольника ABC.

Пересечение прямой с

плоскостью

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, при-

У

надлежащая и прямой, и плоскости. Поскольку и прямая, и плоскость могут за-

нимать различные положения относительно

плоскостей проекций, то при их

пересечении также возможны три случая:

Т

На рис. 4.35, а изображе-

Н

на горизонтальная

плоскость

к"=0"

уровня а{тПп), пересекающая-

ся с горизонтально-проецирую-

civ

щей прямой k(k"k'). Фрон-

a{mlln)±V

тальная проекция О(О") точ-

ки их пересечения

совпадает

Б

К(К"К')1Н

с фронтальным следом плос-

/77'

кости 0V, а

горизонтальная

й

проекция О(О') точки их пе-

и

ресечения совпадает с вырож-

денной в точку горизонталь-

a(m//n)f)K—>0

ной k(k') проекцией прямой.

2-й случай — только один

р

а(АВС)Г)К-

элемент (или прямая

плос-

а

о

Рис. 4.35

кость) занимает частное поло-

жение относительно

т

плоскос-

тей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с

характерной (вырожденной)ил проекцией элемента частного положения, а другую

проекцию

и пересечения требуется построить.

з

пересекающиеся фронтально-проецирующая

На рис. 4.35, б изображены

мая к(к') вниз от точки пересечения (О') «уходит» под плоскость CDE.

1"-

2"линия

Аналогичными рассуждениями,

рассмотрев

конкурирующие точки

пересечения

4 и 5 по стрелке

V, определяем от-

(фронтальная

проекция)

носительную видимость прямой и

плоскости на фронтальной проекции

чертежа - прямая к(к") находится

над плоскостью CDE вверх от точ-

Построена

к и 0(0").

Т

Пересечение

двух плоскостей

1. kaa(ah)

Н

У

2. (1-2)-+aC\CDE

общего положения (3-й случай)

При задании

пересекающихся

3. 0->(1 - 2) Ok

Б

плоскостей

на

чертеже возможны

два варианта:

а) проекции плоскостей в пре-

V-

2'линия

делах чертежа не накладываются;

пересечения

б) проекции плоскостей накла-

ни

(горизонтальная

дываются.

проекция)

Для каждого варианта есть раз-

встречающийс

Рис. 4.37

ные рациональные способы построе-

й

пересечения. Вариант а

о

я линии

в пособии не рассматривается (см. учебник по начертательной геометрии).

Рассмотрим наиболее част

я в различных задачах вариант б -

точк

проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения

сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной

и

плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического

алгоритма построения

пересечения прямой общего положения с плоско-

ваются.

показа

стью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.38

н

пример построения линии пересечения плоскостей

полнен вышеприведенныйположени

г р а ф и ч е с к и й

а л г о р и т м .

общего

я - а(ABC)

и /3(т//п), проекции которых на чертеже наклады-

п

Линия пересечения построена по точкам Ки М пересечения прямых /77 и Я,

которыми задана плоскость fi(m//n), с плоскостью а(АВС), то есть дважды вы-

е

пересечения прямой т с плоскостью а(АВС):

Р

I. Построить точку К(К",К')

1-

действие.

«Заключить»

прямую т

во вспомогательную фронтально-

II. Построить проекции точки М(М",М')

пересечения прямой П с плоскостью

О, повто-

рив графические действия 1, 2 и 3, и соединить

прямой построенные точки К и М.

4-е действие. Определить видимость плос-

У

костей относительно построенной линии пере-

сечения К-М, рассмотрев пары конкурирующих

точек:

относи-

- точки 1 и 5 - для определения

НТ

тельной видимости на фронтальной проекции;

- точки б и 7 - для определения относитель-

ной видимости на горизонтальной проекции.

П р и м е р р е ш е н и я

з а д а ч и

2 пока-

Б

зан на образце выполнения л и с т а

1

на рис.

4.20, б. Задачу выполнить на правой половине

поля чертежа.

Задача 2. Построить фронтальную и гори-

зонтальную проекции линии пересечения двухй

плоскостей общего положения. Задача

т

о

имее

Рис. 4.38

два варианта графических условий.

В а р и а н т ы

1-15:

построит

линии пересечения двух плоско-

ь

стей общего положения АВС

DEF,проекцизаданных треугольными отсеками.

В а р и а н т ы

и

ь проекции линии пересечения треугольника

16-30:

АВС и параллелограмма DEFG, предварительно достроив проекции вершины

G(G", G') параллелограмма.

у, Z, точек А, В,С,

Данные всех вариантов представлены координатами х,

На образце дан пример решения задачи 2 по графическому условию вари-

антов 1-15.

з

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения АВС и DEF

а чертеже

онакладываются, то для построения линии их пересечения исполь-

зуем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего по-

Р

пя с плоскостью общего положения, изложенный выше (см. описания к

рис. 4.37

4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды,

ложенитак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План

г р а ф и ч е с к и х д е й с т в и й д л я р е ш е н и я з а д а ч и

2:

I. Построить точку К(К',К") пересечения прямой АВ с плоскостью DEF:

1-е действие. Заключить прямую АВ (сторону треугольника АВС) во вспо-

могательную фронтально-проецирующую плоскость а и обозначить ее фрон-

тальный след Сту

2-е действие. Построить проекции линии пересечения 1-2(1'-2',1"-2")

вспо-

могательной плоскости а с другим треугольником DEF.

3-е действие.

Определить проекции точки пересечения

К(К",К') стороны

АВ с плоскостью DEF, продлив горизонтальную проекцию построенной вспо-

могательной линии

7-2' до пересечения с горизонтальной А'В' проекцией сто-

роны АВ.

И. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции вто-

рой точки N(N",N") пересечения прямой ВС с плоскостью DEF, заключив ее во

вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость (3, и обозначить ее

У

горизонтальный след (Зн', соединить прямыми одноименные проекции постро-

енных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию MN).

4-е действие.

Т

Определить относительную видимость плоскостей АВС и

DEF, рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 7-5 для определения

видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости

на горизонтальной проекции.

Н

!!! Внимание! К листу

1 выполнить приложение, изложив на листах пис-

чей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Б

й

4.2. Графическая работа № 2 (лист 2, задачи 3 и 4):

перпендикулярность прямо и плоскости

Тема 2:

усвоит

Для решения задач 3 и 4 следует

ь материал начертательной геомет-

рии по теме.

р

-

прямог

перпендикулярность

й и плоскости;

-

теорема о проекции

угла (см. рис. 4.17, 4.18, 4.19 - повторить);

-

перпендикулярность плоскостей.

имее

два варианта

г р а ф и ч е с к и х

у с л о в и й .

Задача 3. Задач

заданны

В а р и а н т ы

т1-15: построить проекции прямой треугольной призмы вы-

заданно

м основанием АВС.

сотой 65 мм с

В р и а н т ы

16-30: построить проекции шара радиусом 35 мм, касатель-

представлены координатами X, у и Z точек А, В, С и D.

ного к

й плоскости АВС в точке D; точка касания D задана одной своей

проекцией (фронтальной или горизонтальной) и ее недостающую проекцию

предварительн нужно достроить.

Данны

для своего варианта взять из табл. 4.3. Условия всех вариантов

еПо заданным координатам точек построить графическое условие задачи:

Р

-

для вариантов 1-15: фронтальную и горизонтальную проекции треуголь-

ного основания призмы АВС;

-

для вариантов 16-30: фронтальную и горизонтальную проекции треу-

гольной плоскости АВС и заданную проекцию точки касания D (недостающую

проекцию -

достроить).

В а р и а н т ы

1-15: определить натуральную величину радиуса шара с

центром в точке 0(0",

О'), касательного к заданной плоскости ABC, и постро-

ить проекции шара.

В а р и а н т ы

16-30:

построить прямоугольные (ортогональные) проек-

ции отрезка общего положения EF(E'F',E"F") на заданную плоскость ABC.

Данные для своего варианта взять из табл. 4.3. Условия вариантов пред-

ставлены координатами X, у, Z точек А, В, С, О, Е и F.

- для вариантов 1-15: фронтальные и горизонтальные проекции заданнойУ

плоскости ЛвС и центра шара точки О;

- для вариантов 16-30: фронтальные и горизонтальные проекцииТзаданной

плоскости ABC и отрезка общего положения EF.

Н

на

Б

й

1-я т е о р е м а :

и

если прямая перпендикулярна двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости, то

а перпендикулярна к этой плоскости.

2-я т е о р е м а :

о проекции прямог угла (изложена выше - см. рис. 4.17,

4.18 и 4.19 к листу 1) -

если

а

а прямого угла параллельна плоскости

одн

проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол

проецируется прямым.

следует

,сторончт а чертеже проекции перпендикуляра к

Из этих двух теорем

плоскости можно провест

только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть

к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

з

о

иГрафическая работа № 2

Таблица 4.3

Лист 1. Задача 3 и 4.

: перпендикулярность прямой и плоскости

Тема

К задаче 3

К задаче 3

№

Координаты

А

В

С

О

варианта№

А

В

с

D

£

F

варианта

п

л

г

л

К задаче 4

К задаче 4

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Р X

100

45

10

65

80

30

0

25

70

50

1

Y

40

10

65

60

16

90

25

80

70

35

10

Z

10

60

30

70

65

100

35

?

40

40

X

90

40

10

75

65

30

120

70

30

55

2

Y

70

45

80

40

17

95

60

40

?

20

25

Z

100

100

55

60

75

10

50

60

80

70

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить

на три группы:

1-я г р у п п а .

Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр

в пространство.

2-я г р у п п а .

Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендику-

ляр к этой плоскости.

3-я г р у п п а .

Построить плоскость, перпендикулярную к прямой обще-

го положения (построить геометрическое место точек - ГМТ).

Т

П е р в а я

г р у п п а

з а д а ч

m"±f

У

требует по условию проведения пер-

пендикуляра от плоскости

(восста-

Б

вить перпендикуляр) в пространст-

Н

во (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется,

й

как правило, построить на проведен-

ном перпендикуляре

проекции от-

резка заданной величины. Графиче-

ские действия по построению про-

екций отрезка заданной величины на

проекциях прямой общего положе-

и

ния изложены ранее

(см. рис. 4.12

к листу 1).

т

р

На рис. 4.39 показано решение

и

примерной задачи первой

группы:

построить плоскость /3, параллельо-

ную заданной плоскост о(АВС), на

Рис. 4.

расстоянии 15 мм.

о

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения парал-

лельной плоскости /3 нужно предварительно построить произвольную точку на

расстоянии 15 ммзт заданной плоскости а, то есть из произвольной точки

плоскости

и перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий

г р а ф и ч е с к и й