6

2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА И ВЫВОД РАБОЧЕЙ ФОРМУЛЫ

Среднюю длину свободного пробега λ и эффективный диаметр молекул воздуха d можно определить косвенным путем по связи этих величин с коэффициентами переноса, в частности, с коэффициентом внутреннего трения. Для измерения указанных параметров предложен метод нестационарного истечения газа через капилляр.

Лабораторный стенд представлен на рис.2. Он состоит из сосуда объемом в один литр (1), жидкостного манометра (2), капилляра (3) с известными параметрами и полиэтиленовой груши (4), соединенной гибким шлангом с сосудом. Сообщение груши с сосудом перекрывается краном (5). В сосуде создается избыточное давление 500 Па и закрывается кран. Выравнивание давлений происходит путем истечения воздуха через капилляр. Размеры капилляра выбраны так, чтобы истечение было изотермическим. Нестационарный характер истечения описывается формулой Пуазейля в дифференциальной форме

канала капилляра, l - его длина, P и P0 - давление внутри сосуда и внешнее давление, соответственно, η - коэффициент внутреннего трения. Формула (2.1) справедлива при условии P − P0 << P0 .

Если в сосуде имеется избыточное давление, то воздух начнет вытекать через капилляр, и давление в сосуде будет падать. Это переменное давление в сосуде обозначим через P . В результате вытекания через капилляр масса газа в сосуде уменьшится на величину

где ρ - плотность, a dV - объем вытекшего газа.

Плотность ρ выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона

PV = Mm RT

где V - объем сосуда.

Подставляя dV , ρ и dm из (2.1), (2,3) и (2.4) в уравнение (2.2), получим выражение

−VM dP = PM πR04 (P − P0 ) dt RT RT 8ηl

определяющее закон изменения давления в сосуде.

После сокращения и разделения переменных получим дифференциальное уравнение

8

Так как дополнительное давление в сосуде невелико, то с достаточной степенью точности можно считать, что P ≈ P1. Тогда (2.10) запишется так:

Обозначим дополнительное давление в сосуде в начальный момент времени через ∆P1, а в конечный момент времени – через ∆P :

где h1 и h2 - начальная и конечная разности уровней манометра, соответственно, α -

коэффициент пропорциональности.

Подставив в (2.11) значения коэффициента внутреннего трения, плотности и средней скорости движения молекул из (1.3), (1.7) (2.3) и учтя соотношения (2.12), приходим к уравнению, позволяющему вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха на основании данных, полученных в опыте по истечению газа через капилляр

Отсюда

Выражение (2.13) удобно представить в виде

При проведении опыта отношение h1 h2 удобно выбрать равным основанию натурального логарифма. Тогда ln h1 h2 = 1 и выражение (2.14) запишется так:

Рассчитав среднюю длину свободного пробега по (2.16), находим эффективный диаметр молекул воздуха d , воспользовавшись соотношением (1.9)

Формулы (2.16) и (2.17) являются рабочими.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Записать в таблицу постоянную установки L , показания лабораторных термометра T и барометра P0 в единицах СИ (1 мм рт. ст. = 133 Па).

2.Открыть кран Кр, соединяющий полиэтиленовую грушу с баллоном Б.

3.Закрыть пальцем отверстие в груше и, медленно сжимая её, поднимать давление в баллоне до тех пор, пока уровень жидкости в правом колене манометра не поднимется на 1-2 см выше верхней отметки на шкале манометра. Не отпуская сжатую грушу, закрыть кран Кр.

4.С помощью секундомера измерить время снижения давления t в баллоне от верхней до нижней отметки. Значение t занести в таблицу.

5.Повторить эксперимент по п. 2-4 два раза.

6.По формуле (2.16) вычислить значения λ для каждого значения t .

7.Найти среднее значение λ и его среднюю абсолютную погрешность ∆λ .

8.По формуле (2.17) вычислить значения d для каждого из значений λ . Найти d и

∆d аналогично п.7.

9. Записать окончательные результаты и сделать выводы.