stat_2

-построение линейного уравнения регрессии и доверительных интервалов для его параметров;

-проверка согласованности полученной модели с экспериментальными данными наиболее простыми способами.

4.1 Нахождение оценок параметров линейного уравнения регрессии

Ограничимся построением линейного уравнения регрессии

η = α*0 + α1*ξ1 + α*2ξ2 +... + α*mξm .

Другими словами будем искать наилучшее приближение функции η функцией вида

ϕ(x1 , ..., xm , a0 , a1 , ..., am ) = a0 + a1 x1 +... + am xm .

Пусть в j-м эксперименте величины ξ1 , ξ2 , ..., ξm приняли значения x1 j , x2 j , ..., xm j , а случайная величина η – значения y j ( j =1,n) .

Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок параметров α*0 , α1* , ..., α*m принимаются значения a0* , a1* , ..., am* , при которых достигает минимума функция

n

Φ(a0 , a1 , ..., am ) = ∑( y j −a0 −a1 x1 j −...am xm j )2 .

j =1

Из необходимых условий экстремума функции Φ(a0 , a1, ..., am ) следует, что параметры a0 , a1, ..., am являются решениями системы

∂Φ(a0 , a1 , ..., am ) = 0, i = 0, 1, ..., m

∂ai

Введем следующие обозначения:

X – n ×(m +1) -мерная матрица наблюдений контролируемых пе-

ременных, в которую введен дополнительно первый столбец, состоящий из единиц;

Y – n-мерный вектор-столбец наблюдаемых значений случайной величины η;

34

A – (m +1) -мерный столбец параметров ai (i = 0, 1, ..., m) :

В матричных обозначениях эта система примет вид

рочное уравнение регрессии имеет вид:

y = a0 + a1x1 +... + am xm .

При большом числе переменных задача нахождения вектора решается на ЭВМ с помощью стандартных программ.

4.2 Построение доверительных интервалов параметров уравнения регрессии

Построение доверительных интервалов параметров ai (i=0, 1, ..., m) легко проводится в случае, если остатки εj = y j − y j ( j =1, n) распределены по нормальному закону с параметрами M (ε) = 0, D(ε) = σ2 .

Здесь y j – наблюдаемое в j-м эксперименте значение η, y j – зна-

чение y, полученное из уравнения регрессии при подстановке значений x1 j , x2 j , ..., xm j , заданных в j-м эксперименте. При малом

числе опытов (n < 50) применяют приближенные методы проверки нормального распределения остатков. Можно считать, что остатки

35

εj распределены по нормальному закону, если не менее 95% из

n

них лежат в интервале ( −2Sε, 2Sε) , где Sε = ∑ε2j /(n − m +1) –

j =1

оценка дисперсии.

Случай, когда остатки ε j не подчиняются нормальному закону

распределения, рассматривать не будем ввиду его сложности.

Для построения 100 (1 −α)% -х доверительных интервалов для α*j ( j = 0, 1, ..., m) по таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ν = n − m −1

4.3 Проверка согласованности модели с экспериментальными данными

Если в уравнении регрессии какая-то из контролируемых переменных xi незначимо влияет на переменную у, то эту переменную xi следует исключить из уравнения регрессии.

Выявление статистически незначимых переменных xi можно рассматривать как проверку гипотезы H0 : α*i = 0 (i =1,m) , то есть η не коррелирована с ξi .

36

ная модель плохо согласуется с экспериментом. В этом случае нужно выбирать другой вид зависимости.

Пример. Произведено 10 измерений прочности строительного материала у при равном содержании в нем некоторых компонент ξ1,ξ2 . Заданные при проведении эксперимента значения x1 j , x2 j

Предполагая, что зависимость между величиной η и величинами ξ1,ξ2 линейная:

1)найти оценки a0 , a1, a2 параметров α*0 , α1*, α*2 уравнения регрессии;

2)найти 95%-e доверительные интервалы параметров α*0 , α1*, α*2 ;

3)проверить согласованность полученной модели регрессии с экспериментом.

Решение.

1.Для нахождения оценок a0 , a1, a2 коэффициентов выборочного

уравнения регрессии y = a0 + a1x1 + a2 x2 необходимо решить систе-

му алгебраических уравнений вида. Матрица коэффициентов X T X

этой системы и матрица-столбец свободных членов X TY записываются следующим образом:

38

Вэтомслучаедлянахождениядоверительныхинтерваловвычислим

Далеенаходимсредниеквадратическиеошибкипараметров ai

Sa0 =Sε a11(−1) =0,989, Sa1 =Sε a22(−1) =0,1026, Sa2 =Sε a33(−1) =0,0684 .

По заданному уровню значимости α =1 − p =1 −0,95 = 0,05 и числу степенней свободы ν=n−m−1=7 находим критическое значение

t1−α2 (ν) = t0,975 (7) = 2,365 .

Доверительные интервалы параметров α*0 ,α1*,α*2 имеют вид

22,3634 − 2,365 0,989 < α*0 < 22,3634 + 2,365 0,989 ,

−0,0473 − 2,365 0,1026 < α1* < −0,0473 + 2,365 0,1026 ,

−0,4854 − 2,365 0,0684 < α*2 < −0,4854 + 2,365 0,0684 .

Окончательно получаем

20,024 < α*0 < 24,702 ; −0,289 < α1* < 0,195 ; −0,647 < α*2 < −324 .

40

Для проверки значимости коэффициента корреляции находим

tγ (ν) = t0,975 (8) = 2,306 , где γ =1 −α/ 2 =1 −0,05/ 2 = 0,975 .

Видно, что tнабл.> tγ(ν) . Значит, с вероятностью р = 0,95 можно утверждать, что ρ ≠ 0 , то есть случайные величины ξ2 и η не являются независимыми.

2. Находим оценки b0* и b2* коэффициентов β*0 и β*2 соответственно уравнения регрессии случайной величины η на ξ2

b0* = 21,9302, b2* = −0,458 .

Выборочное уравнение регрессии имеет вид: y = 21,9302 −0,458x2 . Находим 95%-е доверительные интервалы его коэффициентов

или, после преобразований, 18,836 < β*0 < 25,025 ; −0,5319 <β*2 < −0,384 .

42