КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СОПРОМАТУ (ПГС)
.pdf
21
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по сопротивлению материалов
“Расчет стержневых систем, геометрических характеристик плоских сечений, балок и рам”
Выполнил(а) студент(ка)
группы XXXXXXX
строительного факультета Сидоров С.С
Минск,2014 г.
22
Задача №1. Расчет ступенчатого стержня (схема ???, строка ???)
5
l 1 = м2,8
4
l 2 =3 м,6
2
l 3 =3 м,0
1
|
Z |
|
Эп. N,кН |
|
Эп. ,МПа |
Эп. W,мм |
|
||
|
|
110 |
|
183 |
|
|
1,74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
F1=110 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1=6 см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
– |
|
|
0,83 |
|
|
|
|
|
183 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2=10 см2 |
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
F3=90 кН |
110 |
|
|
110 |
|
|
|
1,82 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
20 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
F5=180 кН |
|
20 |
160 |
20 |
133 |
|
+ |
2,00 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A3=12 см2 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
Z0=160 кН |
|
|
160 |
|
133 |
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E=200 ГПа
1.Составим уравнение равновесия и определим опорную реакцию Z0
Z F1 F3 F5 Z0 0 .
Отсюда имеем
Z0 F1 F3 F5 110 90 180 160кН. 2. Определим продольные силы в сечении 1–2
Z |
Z N12 Z0 0; |
N12 |
N12 Z0 160 кН.
Z0
3. Определим продольную силу в сечении 2–3
|
Z |
|
|
|
N23 |
Z N23 F5 Z0 0; |
|
|
F5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N23 Z0 F5 160 180 20 кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 1 |
2 |
|
23
4. Определим продольную силу в сечении 3–4
Z |
|
F1 |
Z N34 F1 0; |
N34 F1 110 кН.
N34
5. Определим продольную силу в сечении 4–5
Z |
Z N45 F1 0; |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
N45 F1 110 кН. |
N45 |
||
6. Вычислим нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня.
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
160 103 |
13,3 107 Па 133МПа; |
||
|
12 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
|
|
|
A |
|
|
|
12 10 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N23 |
|
|
20 103 |
2,0 107 Па 20 МПа; |
|||||
23 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
10 10 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
N34 |
|
|
110 103 |
11,0 107 Па 110 МПа; |
||||
34 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
10 10 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N45 |
|
|
|
110 103 |
18,3 107 Па 183МПа. |
||
45 |
|
|
A |
|
|
6 10 4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Вычислим абсолютные деформации участков стержня, предполагая, что материал деформируется по закону Гука.
|
|
l |
|
N |
l |
|
|
|
160 103 3,0 |
|
2 10 3 |
м 2,0мм; |
|||||
|
|
12 12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
12 |
|
|
EA |
|
|
200 109 |
12 10 4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
N |
l |
|
|
|
20 103 1,8 |
|
0,18 10 3 м |
0,18мм; |
|||||
|
|
|
23 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
23 |
|
|
EA |
|
|
|
200 109 |
10 10 4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
N |
l |
|
|
|
110 103 1,8 |
|
0,99 |
10 3 м |
1,0мм; |
||||
|
|
|
34 34 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
34 |
|
|
EA |
|
|
|
200 109 |
10 10 4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
N |
l |
|
|
|
110 103 2,8 |
2,57 10 3 м 2,57мм; |
|||||||
|
|
|
45 45 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
45 |
|
|
EA |
|
|
|
200 109 |
6 10 4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Вычислим перемещения сечений стержня. |
|
|
|
|
|||||||||||||
W1 0 по условию закрепления ; |
W2 l12 2,0мм ; |
|
|||||||||||||||
W3 l12 |
l23 |
2,0 0,18 1,82мм ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
W4 l12 |
l23 l34 |
2,0 0,18 1,0 0,82мм ; |
|
|
|||||||||||||
W5 l12 |
l23 |
l34 |
l45 2,0 0,18 1,0 2,57 1,75мм . |
|
|||||||||||||
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 1 |
3 |
|
24
Задача №2. Расчет стержневой системы (схема ???, строка ???)
|
|
F=300 кН |
A |
P |
|
|
|
E |
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
q=56 кН/м |
D |
|
|
|
|
2 |
|
|
B |
a=3,2 м |
a=3,2 м 2a=6,4 м |
|
E=200 ГПа, R=210 МПа
b=3,4 м b=3,4 м b=3,4 м
1. Разрежем деформируемые стержни 1 и 2 поперечными сечениями, покажем продольные силы N1 и N2, принимая их положительными, а также реакции опор.
XA |
|
|
|
F=300 кН |
|
|
|
P |
|
|
|
м |
|
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
YC |
C b=3,4 |
||
|
|
|
|
E |
||
|
|
|
|
|
||
YA |
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
XC |
|
||
|
N1 |
|
|
|
||
|
|
q=56 кН/м |
м |
|||
|
N1 |
b=3,4 |
||||
|
|
|
|
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
b=3,4 |
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
a=3,2 м |
a=3,2 м |
2a=6,4 м |
|
|||
E=200 ГПа, |
R=210 МПа |
|
||||
2. Проведем анализ системы. Очевидно, что, если перерезать деформируемый стержень 1, который соединяет оба жесткие диски, то верхняя часть системы не способна воспринимать нагрузки самостоятельно и зависит от нижней части. В то время, как нижняя часть “самостоятельная” и может нести нагрузку. Поэтому расчет следует начинать с верхней части системы
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 2 |
4 |
|
25
3. Найдем угол наклона второго стержня и угол
|
b |
|
3, 4 |
|
0 |
|
arctg |
|
arctg |
|
|
19, 28 ; |
. |
|
3 3, 2 |
|||||
|
3a |
|
|
|
|
4. Рассмотрим верхнюю часть системы и найдем реакции на опоре A и продольную силу в деформируемом стержне 1. Полагая, что верхняя часть системы находится в состоянии равновесия, воспользуемся уравнениями равновесия. Отметим, что деформируемый стержень 1 предварительно считаем растянутым.
M A F 2a N1 a 0;
M A 300 2 3, 2 N1 a 0; |
N1 600кН. |
|
M P F a YA a 0; |
|
|
MP 300 3, 2 YA a 0; |
YA 300кН. |
|
X X A 0; |
X A 0. |
|
Таким образом, установлено, что первый стержень сжат, вертикальная реакция опоры A направлена вниз и равна YA 300кН , а горизонтальная реакция
не появляется.
5. Рассмотрим нижнюю часть системы и найдем реакции на опоре C и продольную силу в деформируемом стержне 2. Полагая, что нижняя часть системы находится в состоянии равновесия, воспользуемся уравнениями равновесия. Отметим, что деформируемый стержень 2 предварительно считаем растянутым.
MC |
q 3a |
3a |
N2 cos b N2 sin 3a N1 3a 0; |
||||||
|
|||||||||
|
2 |
|
3 3, 2 |
|
|
|
|
||
MC |
56 3 3, 2 |
N2 |
cos 19, 280 3, 4 N2 sin 19, 280 3 3, 2 |
||||||
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||
600 3 3, 2 0; |
|
N |
2 |
1300 кН. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X N2 cos XC 0; |
|
|
|
|
|||||
X 1300 cos XC 0; |
|
|
XC 1227 кН. |
||||||
Y q 3a N1 YC N2 sin 0;
Y 56 3 3, 2 600 YC 1300 sin 19, 280 0; YC 708кН.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 2 |
5 |
|
26
В результате расчета установлено, что второй стержень сжат силой N2 1300кН , вертикальная реакция опоры C направлена вверх и равна
YC 708кН , а горизонтальная – влево и равна XC 1227 кН .
6. Из условия прочности определим требуемую площадь поперечного сечения первого стержня
|
N |
R ; |
|
|
N |
|
600 103 |
28, 6 см2 . |
1 |
A |
1 |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
A |
|
1тр |
|
R |
|
210 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы прокатных профилей выбираем два равнополочных уголка 2L100×7
A1 2 15, 2 30, 4см2 A1тр 28,6см2 .
Проверим по условию прочности
|
N |
|
600 |
103 |
197 МПа<R=210 МПа. |
|
1 |
|
|
||||
A |
30, 4 |
10 4 |
||||
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
Недогрузка составляет
210 197 100 6, 2% .
210
7. Из условия прочности определим требуемую площадь второго стержня.
|
N2 |
R ; |
A |
|
N2 |
|
1300 103 |
61,9 см2 |
|
|
|||||||
|
A |
|
2тр |
|
R |
|
210 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы прокатных профилей выбираем два равнополочных уголка 2L160×10
A2 2 31, 4 62,8см2 A2тр 61,9см2 .
Проверим по условию прочности
N2 1300 103
A2 62,8 10 4 207 МПа<R=210 МПа.
Недогрузка составляет
210 207 100 1, 4% .
210
8. Определим длину деформированных стержней 1 и 2.
l 2b 2 3, 4 6,8м; |
l |
b2 3a 2 |
|
3, 42 3 3, 2 2 |
10, 2м. |
1 |
2 |
|
|
|
|
9. Определим деформации 1 и 2 стержней, полагая, что материал деформируется по закону Гука.
l |
|
|
N l |
|
|
600 103 6,8 |
6,7 мм ; |
|||
1 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
EA |
|
200 109 30, 4 10 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
N l |
|
1300 103 |
10, 2 |
10,6 мм . |
|||
|
2 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
EA |
|
|
200 109 61,8 10 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, что первый и второй стержни укорачиваются. 10. Построим деформированную схему системы.
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 2 |
6 |
|
27
11. Определим перемещение точки D
D |
|
l2 |
|
10,6 |
17,66мм . |
||
cos 900 |
|
cos 900 19, 280 19, 280 |
|||||
|
|
|
|
||||
12. Определим перемещение точки P
P D cos l1 17,66 cos 19, 280 6,7 23,9мм . 13. Определим перемещение точки E из пропорции катетов
E |
|
2a |
; |
|
|
|
2a |
|
|
2 23, 4 46,8мм. |
P |
|
E |
|
P |
||||||
|
a |
|
|
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
F=300 кН |
|
|
|
|
XA=0 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
P |
|
YC=708 кН |
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
=3,4 |
|
|
|
P= мм |
l1=–6,7 мм |
E=46,8 мм |
|
|
|
||
|
C |
|
|
||||
|
|
|
XC=1227 кН |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YA=300 кН |
|
D×cos = мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мм |
|
2L100×7 |
P* |
|
|
|
|
|
|
q=56 кН/м |
|
=3,4м |
E= |
|
|||
|
|
|
|
||||
мм |
|
|
|
|
|
||
= |
D |
|
|
|
b |
|
|
×cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
D |
|
|
E |
|
|
|
|
|
l2=–10,6 мм |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D=17,66 мм |
|
|
|
b=3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L160×10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
a=3,2 м |
a=3,2 м |
2a=6,4 м |
|
|
|
||
E=200 ГПа, |
R=210 МПа |
|
|
|
|
|
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
|
Зд. № 2 |
8 |
||
29
Задача №3. Определение геометрических характеристик составного сечения (схема ???, строка ???)
V 
t
Y
B
X
y0
t
x0
b
Y
s
h |
X |
t
b
Уголок неравнополочный
L 90×56×8
B=9 см; |
b=5,6 см; |
t=0,8 см; |
|
x0=1,36 см; |
y0=3,04см; |
A=11,18 см2; |
|
Jx=90,90 см4; |
Jy=27,10 см4; |
Jv=16,30 см4. |
|
Двутавр №36
h=36 см; |
b=14,5 см; |
t=1,42 см; |
s=1,0 см; |
A=61,9 см2; |
|
Jx=15380 см4; |
Jy=516 см4; |
Dxy=0. |
|
B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лист 320×14 |
||||
Y |
L=32 см; |
|
|
|
|
|
|||||||
B=1,4 см; |
|
|
|
||||||||||
|
|
X |
32 1, 43 |
|
|||||||||
|
|
|
J |
X |
|
LB3 |
|
7,3 см4 ; |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L3 B |
|
|
323 1, 4 |
|
|
|||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
3823,0 см4 ; |
||||
|
|
|
Y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A LB 32 1, 4 44,8 см2 ;
DXY 0.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 3 |
9 |
|
30
1.Перерисуем из таблицы эскизы соответствующих прокатных профилей.
2.Нарисуем сечение в масштабе (крупно, лучше на миллиметровой бумаге) на отдельном листе и покажем все необходимые размеры.
3.Выберем вспомогательные оси координат и нанесем их на рисунок сечения.
4.Вычислим (определим по размерам на чертеже) координаты центров тяжестей отдельных частей сечения.
x1 5,96 см; |
y1 4, 24 см; |
||
x2 |
11, 75 см; |
y2 |
23, 60 см; |
x3 |
27, 75 см; |
y3 |
42,30 см; |
5. Вычислим площадь и статические моменты относительно вспомогательных осей координат
|
3 |
|
|
A Ai |
11,18 61,90 44,80 117,88 см2 |
||
|
i 1 |
|
|
|
3 |
|
|
SX |
Ai yi |
11,18 4, 24 61,9 23,6 44,8 42,3 3403,30 см3 |
|
|
i 1 |
|
|
|
3 |
|
|
SY |
Ai xi |
11,18 5,96 61,9 11,75 44,8 27,75 2037,16 см3 |
|
i1
6.Определим положение центра тяжести сечения
x |
SY |
|
2037,16 |
17, 2 см; |
y |
SX |
|
3403,30 |
28,8 см. |
|
|
|
|
||||||
C |
A |
117,88 |
|
C |
A |
117,88 |
|
||
|
|
|
|
||||||
7. Вычислим координаты частей сечения относительно центральных осей, воспользовавшись формулой преобразования координат
xСi xС1 xС 2 xС 3
xi xС ;
x1 xС
x2 xС
x3 xС
|
yci |
5,96 17, 2 11, 24 см; |
yС1 |
11,75 17, 2 6, 45см; |
yС 2 |
27,75 17, 2 10,35см; yС 3
yi yc ;
y1 yС 4, 24 28,8 24,56 см;
y2 yС 23,6 28,8 5, 2 см;
y3 yС 42,3 28,8 13,3 см;
8. Проверим координаты центра тяжести сечения. Проверка основана на том,
что статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SXc |
Ai yCi |
11,18 24,56 61,9 5,2 44,8 13,3 0,5см3 0; |
||||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SYc |
Ai xCi |
11,18 11,24 61,9 5,45 44,8 10,32 0,66 см3 0; |
||||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность координат центра тяжести всего сечения составляет |
||||||||||||||
|
|
SXc |
|
|
0,5 |
0,004см; |
|
|
|
SYc |
|
|
0,66 |
0,005см. |
|
|
|
Xc |
|
|
|||||||||
Yc |
|
A |
117,99 |
|
|
|
A |
117,99 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Очевидно, что координаты центра тяжести всего сечения найдены достаточно точно.
|
Сопротивление материалов |
Сидоров С.С. |
гр. 112??? |
Зд. № 3 |
10 |
|