Основной текст

Равновесие пространственной системы

параллельны х сил

ТУ

Для пространственной системы параллельных сил можно составить

три уравнения равновесия. Если сил^1 параллельны оси Z, то имеем сле­

дующие уравнения равновесия:

1.

I

M x (Fk) —0.

Н

2.

I

M y (Fk) —0.

3.

I

Fkz —0.

Пример 29.

Б

Квадратная однородная

й

плита весом Р находится в

равновесии.

Определить

р

реакции связей, если Р = 100

Н; F —20 H (рис. 14).

о

и

Решение.

Рассмотрим

т

равновесие плиты под дей­

ствием системы параллель­

ных сил R , F

и

Рис. 14

реакций

связей

R A ,

RB ,

R D . Со­

ставим три уравнен я равновесия:

о

Fkz —R A + RB - R D - P + F —0 .

п

1. I

з2. I M x (Fk) —RBa + Fa - 0 ,5Pa —0.

Р

3. I

M y (Fk) —RDa + 0,5P - Fa —0.

Находим из 2.

еиз 3.

RB —- F

+ 0,5P —-2 0 + 0,5• 100 —30 H,

R D —-0 ,5 P + F —-0 ,5 • 100 + 20 —-3 0 H ,

из 1.

R A —-R b + R D + P - F —-3 0 - 30 +100 - 20 —20 H.

Ответ. R A —20 H,

RB —30 H,

R D —-3 0 H .

Равновесие произвольной

плоской системы сил

У

Для произвольной плоской системы сил можно составить три уравне­

ния равновесия.

Первая форма уравнений равновесия:

1.

Z FIX = 0.

Т

2. Z F^y = 0.

Н

3.

Z M (Fk) = 0.

Б

й

Третье уравнение составляют относительно произвольной точки.

Лучше всего брать точку, в которой имеется больше неизвестн^тх реак­

ций.

Вторая форма уравнений равновес я:

1. Z Fkx = 0.

орой

2 . Z MиA (Fk) = 0 .

т

и

3.рZ M b (Fk ) = 0.

формы уравнений равновесия необходи­

При использован в

з

мо, чтобы ось X не была перпендикулярна прямой АВ.

Третья форма уравнен

й равновесия:

о

1. Z M A (F, ) = 0 .

2. Z

M b (F , ) = 0.

Р

Rb З . ^ М с ( Ю = 0.

п

При

использовании

третьей

е

В формы уравнений равновесия необ­

ходимо, чтобы точки А, В,

С не ле­

жали на одной прямой.

Пример 30.

Определить реакции опор, ес­

ли

F =

10 кH, q =

2 кH/м,

Рис. 15

М = 3 кН-м (рис. 15).

мерно распределенную

нагрузку заменим равнодействующей

Q —4q —8 к H,

котораяприложен

У

2.

I

Fky —y A -

F cos30° - Q + RB —0.

Т

3.

I

M A(Fk) —-6 F

Н

cos30° - M - 10Q + 12RB —0.

Находим из 1.

Б

й

X A —- F cos60° —-1 0 • 0,5 —- 5 кН,

из 3.

и

р

6 + 3 + 8 •10 —„ 2 5

к H,

Rb —6F cos -0 • + M + 10Q —1 0 f

B

12

о

12

из 2.

т

°

7 3

+ 8 - 1 1 ,2 5 —5,41 кH.

y A —F cos30° + Q - R B —1 0 ^

з

Ответ. ХА —-5 кН, YA —5,41 кН, RB —11,25 кН.

пок

направле­

Минус

а ывает, что направление ХА противоположно

нию, п казанн мурисна

15.

п

е

Равновесие плоской системы

Р

параллельны х сил

Для плоской системы параллельных сил можно составить два уравне­

ния равновесия. Если силы параллельны оси y, то уравнения равновесия

имеют вид.

Первая форма: уравнений равновесия

1.

I

Fky = 0.

2 . I

M (Fk) —0 .

3.

Что такое главный вектор?

4.

Что такое главный момент?

5. Как определить модуль главного вектора и главного момента?

6. Как зависит главный момент от выбора центра приведения?

7.

Инварианты системы сил.

8.

К какому простейшему виду можно привести произвольную про­

странственную систему сил, если:

а) главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю;

б) главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю;

в) главный вектор и главный момент не равны нулю, а скалярный ин­

9.

вариант равен нулю.

Н

У

В каком случае произвольная пространственная система сил приво­

10.

дится к динаме?

Т

Какую совокупность сил называют динамой?

11.

Что такое центральная винтовая ось?

й

12.

Что такое минимальный главный момент и чему он равен?

13.

Сформулируйте теорему Вариньона о моменте равнодействующей.

14.

Векторные и аналитические

условия

равновесияБпроизвольной про­

странственной системы сил.

15.

р

Сколько и каких уравнений равновес я можно составить для про­

странственной системы параллельных л?

16.

о

Сколько и каких уравнений

авновесия можно составить для произ­

вольной плоской системы сил?

17.

т

авновесия можно составить для плоской

Сколько и каких уравнений

и

системы параллельных сил?

з

о

п

е

Р

Пример 32.

У

Будет ли система сил, приведенная на рис. 1, статически определи­

мой?

Т

Решение. На рис. 1 изображена плоская произвольная система сил,

для которой можно составить только три независимых уравнения равнове­

Н

сия. Определим

число неиз­

вестных.

ПользуясьБпринципом ос-

вобождаемости

от связей,

заменяем их действия реак­

й

ц ями. В точке А — одна ре­

акция. На другой опоре (шар­

и

р

нирно-неподвижной) — две

. 1

реакции X а, Y a .

о

Число

неизвестных реак­

ций равно

числу уравнений

равновесия. И ображеннаятсистема сил является статически определимой.

Пример 33.

Рис

Будет лизсистема сил, изображенная на рис. 2, статически определи­

мой?

Х а и Y а . В точке С связью является стержень с двумя шарни­

реакции:

Р шение.оИзображенная система сил является плоской произвольной

сист мой сил, для которой можно составить три уравнения равновесия.

Опрпд лим число неизвестн^тх реакций. В точке А имеем две неизвестные

Р

рами и реакция будет

направлена

через

точки CC". В точке В

имеется

еще

одна

реакция. Итого имеем

четыре

неизвестные

2

реакции.

Число

иеиз-

жду

телами

одной

и

той

же

системы,

а внешними называют силы, с которыми на тела заданной системы сил

действуют тела, не входящие в данную систему сил.

У

Если система тел находится в равновесии, то рассматриваем равновесие

каждого тела в отдельности, учитывая внутренние силы взаимодействияТме­

жду телами. Если задана плоская произвольная система N тел, то для этой

системы можно составить 3N уравнений равновесия. Задача будет статиче­

Н

ски определимой, если число неизвестн^тх не будет превышать числа урав­

нений равновесия. При решении задач на равновесие системы тел можно

также рассматривать равновесие как

Б

тел в целом, так и для любых

сочетаний тел. В случае рассмотрен

я равновесия системы в целом внут­

ренние силы взаимодействия между телами не учитываются на основании

аксиомы о равенстве сил действия п от

й

водействия.

Пример 34.

системы

р

Определить реакции

п р А, В и шарнира С составной балки, если М

= 8 кН/м, q = 2 кН/м, Р = 6 кН (рис. 3).

Решение. Расчлен

о

м

авную балку по шарниру С и рассмотрим

равновесие балки АС подсостдей­

ствием

а М,

рав­

номерно

и

на­

распределенной

грузки

интенсивности

q

и

з

акций X а , YA шарнирно­

н одвижноймоментопоры А и ре­

акци й Xc, Yc шарнира С (рис.

п

4). Для полученной уравно­

вешенной

плоской

произ­

ре

системы

сил

со­

вольной

ставим

три

уравнения

рав­

Рновесия, заменяя

Рис. 4

Н

У

Б

к

равномерно распределенную нагрузку силой Q = 4q = 8 кH, приложеннойТ

середине нагруженного участка DE. Направление

осей координат показано

на рис. 4.

й

1. Y.Fkx = Да +

= 0.

и

2. ZF^ = YA + Y c - Q = 0.

3. ZMA(Fk) = - M - 5Q + 9Yc = 0.

арнирно

ассмотр м равновесие другой части,

Тепе ь

на к т

ую действуют сила Р , реакции

X B,

YB

т

р-неподвижной

опо­

ш

з

ры

В

и

реакции

X C',

YC'

шарнира

С

(р

с. 5).

о

На

основании аксиомы

действия-про­

т водействия реакции в шарнире С равны по мо­

п

идулю и противоположно направлены:

X c

= X c ', Yc

= Yc',

е

X c

= - X c ,

YC

= - Yc'.

Р

в

X,

Для

полученной

уравновешенной

плоской

произвольной системы сил составим три уравне­

Рис. 5

ния равновесия:

телу

силы Q и S

(рис. 1).

Примем,

что Q

= const,

а | S | изменяется от нуля до ^тах. При увеличении S тело какое-то время

будет

находится

в покое. При достижении некоторого

значения силы

S тело выйдет из со­

У

стояния покоя и будет двигаться. Со­

противление движению оказывает ре­

акция

опоры

Т

R , которая

образует

угол

Н

ф

с нормалью к касательной. Разложим

Рис. 1

реакцию опоры на составляющие по

пр

параллелограмма:Б

й

R = N + FTp.n,

(1)

где N

— сила нормальн

давления; FTpn — сила трения покоя.

авилу

Сила трения покоя направлена в сторону, противоположную возмож­

р

ному движению тела. Максимальн е значение силы трения пропорцио­

нально силе нормального давления и достигается в момент выхода тела из

положения равновес я:

го

т

f п N ,

(2)

и

Fтр.п -

где f n

которую

называют коэффициентом

— бе ра мерная величина,

трения

з

к я.

о

п