Основной текст

Угол между осью X и M 01

cos(x? M 01) —

—-2^

^

—0,9807, Z(x, M 01) —11,27°.

M 01

28,84

Угол между осью Z и М0

)1

У

cos(z? M 01) ——0,1961,

Z(z, M 01) —78,73°.

Т

M 01

28, 84

Ответ. М01—28,84 Н^м.

Б

И нварианты статики

Инвариантом в статике называют величину, которая не зависит от

центра приведения.

й

Н

Векторным инвариантом статики является главный вектор системы

сил

ки

R01

(13)

—R0 —const.

р

Скалярн^гм инвариантом стат

называют скалярное произведение

вектор

главного момента на главный

M 0 • R0 —M 01 • R01 —co n st.

(14)

Пример 22.

и

Найти скалярный

нвариант системы сил в точках О и О;, используя

з

условие и ре ультатытпр мера 21.

о

м скалярный инвариант в точке О:

Решение. Определ

п

• R0 —M 0 • R0 cos(R 0, M 0) —8 • 24cos135° —-135,76.

е

M 0

О ределим скалярный инвариант в точке О1.

Р

M 01 • R0 —M 01 • R0 cos(M 01, R0) —28,84 • 24cos101,27° —

I.

Приведение к паре сил

R 0 —0,

M 0 ^ 0, M 0 • R0 —0 .

Система сил приводится к одной паре сил, равной главному моменту и

не зависящей от выбора центра приведения.

У

Пример 23.

Т

Привести систему сил, действующую на куб к простейшему виду, если а

--2 м, Fi —8 H,

—16H, F3—8 H, F4 —8 j 2 H

(рис. 6).

Н

Б

й

и

р

о

з

т

о

и

Рис. 6

п

Решение. Определим модуль и направление главного вектора:

е

Fkx —F3 - F4 cos45° —8 -

—0.

Р

1. R x —I

2-

R y —I

Fky —0.

3. R z —F1 - F2 + F 4cos45° —8 - 1 6 +

—0.

5. M y = F2a -

Fia -

F4acos45°

2

= 16 -2 - 8 - 2 - 8 j l ^ 2 = 0.

6 . M z = F4a cos45°

/2

2 = 16 H - м,

= 8.J2—

M 0 = ^ M 2 + M z2 W 3 2 2 + 162 = 1^л/б H - м ,

cos(x, M 0) =

M x =

32

=

2

Т

M 0

1^л/б

л/б’

У

cos(z, M 0) = Mz

1

Н

M 0

л/s '

Б

Следовательно, система сил приводится к главному моменту, лежа­

щему в плоскости 0xz. Направление главного момента определяется най­

денными косинусами.

й

II. Приведение к равнодействующей

и

а) R 0 ^ 0, M 0 = 0, M 0 - R 0 = 0 .

р

Система сил приводится к

авнодействующей, равной главному век­

о

оходящей через центр приведения.

тору по модулю и направлению, и п

Пример 24.

т

Привести

сис

сил,

(рис.

7)

к

простейшемувиду, если

ему

Р1 = Р2 = Р3 = 4 H

, а = 10 м, b = 16 м, с = 6 м.

з

м модуль и направление главного вектора систе­

Решение. Определ

о

мы сил:

п

ь

е

"

Рз

"

Р

^

с

^

о

cos(x? R0) —

—- ^

—0,5772,

Т

Zx, Rq —54,75°,

У

R 0

6, 93

Н

cos(y? R0) —

—^

—0,5772,

Zy, R 0 = 54,75°,

R0

6,93

cos(z^ R0) —R z —^ -

—0,5772,

Zz, Rq —54,75° .

R0

6,93

й

Определим модуль и направление главного момента:

4.

M x —I

M ^(F ) —-P - c + P2c —-4 • 6Б+ 4 • 6 —0H

• м.

5. M y —I

M y (F ) —0H

и

• м.

6.

M z —I

р

M z (F ) —0 H • м.

ало

M 0 —^ M 2 + M 2 + M i —0.

т

сил

Ответ. Система

прив дится к равнодействующей, линия действия

которой проход т через нач

координат:

б) R0 ^ 0, M 0 ^ 0, M 0 • R0 —0 , т. е. M 0 ^ R0 .

о

Система сил приводится к равнодействующей, равной по модулю и

апр

н авлениюзглавному вектору и отстоящей от центра приведения на рас-

е

M 0

стоянии d

—------. Линия действия равнодействующей называется цен-

Р

R 0

тральной осью системы.

R0

n R

R0

0

0

У

d

M ,

централь­

наяось

V

R ’

системы

Рис. 8

Рис. 9

Н

M 0

80

Плечо пары d =

Т

R0

4 м ,

20

Направление вращения пары соответствует главному моменту. Полу­

й

чим в точке О две равные по модулю и противоположно направленные

силы (рис. 9), которые являются уравновешенной системой сил (аксиома

1):

и

Б

(R0, R ') □ 0.

Следовательно, получим что

о

(R0, M 0) □ (R) а .

Линия действия

т

в точке А будет

центральной

равн действующейр

осью системы.

и

з

ведение системы сил к динам е

П р

о

(д

нам ическому винту)

M 0 Ф 0,

M 0 - R0 Ф0.

Известн , что R0 Ф 0,

п

Система сил приводится к динаме (динамическому винту). Динамой

е

называют с в купность силы и пары сил, векторный момент которой на­

равл н

араллельно вектору силы. Линию действия динамы называют

ц нтральной винтовой осью (рис. 10).

Главный момент раскладываем на направление главного вектора и

перпендикулярно главному вектору:

Р

M 0 = M 1 + M 2,

M 1 = M 0 cos а ,

M 2 = M 0 sin а .

У равнение центральной винтовой оси системы

Если известны проекции главного вектора и главного момента на оси

У

координат и координаты точки О1 , через которую проходит динама, то

уравнение центральной винтовой оси в декартовой системе координат

имеет вид

M x - (y R z - z R y ) = M y - (z R x - x R z ) =

Rx

Ry

Н

(15)

Б

Т

= M z - (x R y - y R x) = MJ

R z

R0

где

й

M 0 = M xi + M y j + M z k ,

Проекция главного

а M1относительно

центра приведения О на

R0 = Rxi + R yj

+ R z k ,

x, y, z — координаты точки О1, че ез кото

ую проходит динама.

направление главного

момент

ра ( ис. 10):

вект

^р M xRx + M yR y + M zR z

^ ^

(16)

M 1 = M 0 cos(R0, M 0)

= M 0 co sa = ----------------- -------------------.

з

0

М ин

м альны й главны й момент системы сил

о

инвго арианта статики (формула (14)) следует:

Из скалярн

е

M 0 - R0 = M 01 - R01 = co n st,

или

Р

пM 0

- R0 - cos(M 0, R0) = M 01 -R01

- cos(M 01, R01) = co n st.

Так как R0 = R01, то

M 0 -cos(M 0, R0) = M 01 -cos(M 01, R01) = const.

(17)

Теорема Вариньона

о моменте равнодействую щ ей

Т

Момент равнодействующей системы сил относительно произвольной

точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил отно­

сительно этой точки:

Н

У

M 0(R ) = Z

M 0(Fk).

(18)

Момент равнодействующей системы сил относительно любой оси ра­

вен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно

этой оси:

й

и

Б

(19)

M z (R ) = Z

M z (Fk)

р

Пр мер 27.

С стема сил приведена к рав­

нодействующей.

Определить

мо­

т

мент

равнодействующей

RA = 100

H относительно начала

и

координат,

если

XA

=

0,15

м,

з

о y A = 0,12 м (рис. 12).

Решение. Применим теорему

о

Вариньона

M 0( R A )=M 0( R AX )+ M 0( R AY )•

п

Находим

проекции равнодейст­

е

вующей на оси координат:

Р

3

R AX = R A co s3 0 o = 1

0

^ = 86,6 H ,

RA^Y = RA cos60o = 100 - 0,5 = 50 H .

Находим моменты проекций равнодействующей относительно точки О:

M 0(R A X ) = Уа - R AX = 0,12 -86,6 = 10,4 H

- м,

Т

Произвольная пространственная система сил приводится к главному

вектору и главному моменту.

У

Для равновесия произвольной пространственной системы сил, прило­

Б

женных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный

вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю.

Условия равновесия в векторной форме:

Н

R 0 = 0,

й

(20)

M 0 = 0.

и

Условия равновесия в аналит ческой форме:

1. Z Fkx = 0 .

о

4. Z

M x (Fk) = 0.

(21)

2. Z Fky = 0 .

5. Z

M y (Fk) = 0.

т

р

3. Z Fkz = 0 .

M z (Fk) = 0 .

и

6. Z

Пример 28.

з

Прямоугольная

однородная

плита весом Р удерживается в го­

ризонтальном

положении

тросом

СС'.

Определить реакции

связей,

е

о

если Р = 100 Н, F = 40 H, а = 30°, в

=

60°,

Р

п

F \\zAy (рис.

13).

Решение. Используя принцип

освобождаемости от связей, заме­

ним

действие

связей реакциями,

приложенными к плите. В точке А

(сферический шарнир) будут

три

состав­

ляющие:

X A,

YA,

Z A .

В

точ­

Рис. 13

ке

5

—

две

составляющие:

X B ,

Z B . Реакцию нити T

направим линии по СС" Для уравновешен­

ной произвольной пространственной системы сил составим шесть урав­

нений равновесия:

1. I

Fkx —X a + X b - T cos а sin p —0.

2.

I

Fky —y A + F cos45° - T cos а cosp —0.

У

3. I

Fkz —Z a + Z b + T sin а -

P - F cos45°

—0.

—

AB

4. I

M x (Fk) —- ^ ^ 2 - + Z BAB + AB •T sin а —0.

5.

I

—

AD

—0.

M y (Fk) —F sin 45° AD + P ^ ^ - AD • T sin а

Т

6.

I

M z (Fk) —AD • F c o s 4 5 ° - X b AB —0.

Н

Находим из 6.

Б

X

—AD • F cos45°

—AD • F cos45°

— 40

^

—16 33 H

B

AB

AD tgp

tg60°

,

,

из 5.

й

и

T —AD •F sin 45 •+ P 0.5 AD

—4 0 f

+ 100 •0 ,5

, 156 56H

AD sin а

р

0,5

из 4.

о

Zb —P 0,5 AB - тAB - T sin а —1 0 0 .0, 5 _ 156, 5 6 • 0.5 —^ 8 ^ 8 H ,

из 1.

и

з

X A —- X B + T cos а sin P —-16,33 +156,56 • cos30 ° sin60 °—101,09 H,

из 2.

о

пy A —-F

cos45° + T c o s а cosp —-4 ^ ^ ^ + 1 5 6 ,5 ^ ^ ^ ^ —39,51 H,

е

'

^

2

2

2

Р